Los códigos lineales permiten algoritmos de codificación y decodificación más eficiente que otros códigos (cf.
Las palabras de código en un código de bloque lineal son bloques de símbolos que son codificados usando más símbolos que el valor original para ser enviadas.
Dos palabras de código distintas difieren en por lo menos tres bits.
Como consecuencia de ello, hasta dos errores por palabra de código pueden ser detectados y un solo error puede ser corregido.
Un código lineal de longitud n y rango k es un subespacio lineal C con dimensión k del espacio vectorial
Los vectores en C se llaman palabras de código.
Un código lineal de longitud n, la dimensión k, y la distancia d se denomina [n,k,d] código.
la base estándar habitual, ya que cada coordenada representa un "bit", que se transmite a través de un " canal con ruido ", con alguna pequeña probabilidad de transmisión de errores (un canal binario simétrico).
Si se utiliza alguna otra base, este modelo no puede ser utilizada y la métrica de Hamming no mide el número de errores en la transmisión, que es lo que se quiere.
, entonces decimos G está en forma estándar.
Una matriz H que es representada como una función lineal
La palabra de código distinto de cero con el peso más pequeño tiene entonces la distancia mínima para la palabra de código cero, y por lo tanto determina la distancia mínima del código.
es al menos el número mínimo de columnas linealmente dependientes.
Por otra parte, considerando el conjunto mínimo de columnas linealmente dependientes
, que es el número mínimo de columnas linealmente dependientes
, el código Hamming puede corregir errores de 1-bit.
código lineal y es capaz de corregir muchos errores.
columna son los bits de la representación binaria del número entero
El código Hadamard tiene la distancia mínima de
Ejemplo: el código de bloque lineal con la siguiente matriz generadora es un
El código Hadamard es un caso especial de código Reed-Muller Si tomamos la primera columna (la columna todo ceros) de
El siguiente construcción / algoritmo ilustra este (llamado el algoritmo de decodificación del vecino más cercano): Entrada: un "vector recibido" v en
Salida: una palabra de código w en C cercano a v.
Nota: El "fallo" no se devuelve a menos que t > (d − 1)/2.
Los códigos, en general, son denotados a menudo con la letra C, y un código de longitud n y de rango k (es decir, que tiene n palabras de código en su base y k filas en su matriz generadora) se conocen en general como un código (n, k).
La notación [n, k, d] no se deben confundir con la notación (n, M, d) usada para denotar un código no lineal de longitud n, tamaño M (es decir, con palabras de código M), y distancia mínima de Hamming d. Lema (límite de Singleton): Cada código lineal C denotado [n, k, d] satisface que
Un código C cuyos parámetros satisfacer k + d = n +1 se conoce como distancia máxima separable o MDS (por sus siglas en inglés).
Estos códigos, cuando existen, son de alguna manera lo mejor posible.
Si C1 y C2 son dos códigos de longitud n y si hay una permutación p en el grupo simétrico Sn para los que (c1,...,cn) está en C1 si y sólo si (cp(1),...,cp(n)) está en C2, entonces se dice que C1 y C2 son una permutación equivalente.
En general, si hay una matriz monomial de