Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.si: ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.un subespacio vectorial, se tiene: Para i) el abuso de lenguajePara ii) el abuso de lenguajeEs posible sintetizar i) y ii) en una condición única: Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vectorr v + s w, sus elementos son del tipo{\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial deEl vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados: Seaes un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.Es llamado el subespacio trivial deen sí es un subespacio vectorial de{\displaystyle W:=\left\{\mathbf {\mu v} \in V\colon \mu \in \mathbb {R} \right\}}4) Más generalmente, si fijamosEste conjunto es llamado el generador lineal deEn general, no será un subespacio.Esto es fácil de ver, considerando quePor lo tanto, no puede ser un espacio vectorial., se definen las siguientes operaciones:Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W. Se dice que los subespaciosson suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorialserá igual a la dimensión del subespaciomás la dimensión del subespacioy teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.En el caso particular de la suma directa, como.La fórmula de Grassmann resulta:Entonces en el ejemplo anterior, resultaría