En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.
si: ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.
un subespacio vectorial, se tiene: Para i) el abuso de lenguaje
Para ii) el abuso de lenguaje
Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única: Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector
r v + s w
, sus elementos son del tipo
{\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}
como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de
El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².
Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados: Sea
es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.
Es llamado el subespacio trivial de
en sí es un subespacio vectorial de
{\displaystyle W:=\left\{\mathbf {\mu v} \in V\colon \mu \in \mathbb {R} \right\}}
4) Más generalmente, si fijamos
Este conjunto es llamado el generador lineal de
En general, no será un subespacio.
Esto es fácil de ver, considerando que
Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.
, se definen las siguientes operaciones:
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W. Se dice que los subespacios
son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial
será igual a la dimensión del subespacio
más la dimensión del subespacio
y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
En el caso particular de la suma directa, como
.La fórmula de Grassmann resulta:
Entonces en el ejemplo anterior, resultaría