Sistema generador
En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema generador de V a un conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo.
No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no siempre es cierta.
Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.
Para cualquier sistema generador A formado por n elementos, siempre podremos hallar una base B comprendida en A con un número de elementos menor o igual que n. Primero debe definirse el concepto de espacio generado o span lineal.
Es el subespacio vectorial más pequeño posible que contiene a un cierto conjunto dado de antemano, formalmente lo definiremos de la siguiente manera.
Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo
un conjunto cualquiera de vectores pertenecientes a V, en el cual m puede tomar tanto valores mayores como menores a n. En el caso particular
[3] Esto nos permite enunciar lo siguiente S es un subespacio vectorial de V.
De ahí que también sea denominado subespacio generado.
Se define entonces, bajo estas condiciones, Sistema generadorEl conjunto A es un sistema generador si existe un conjunto S al cual genera, es decir, si todo vector de S puede expresarse como combinación lineal de los elementos de A.
En ese caso, se dice que A es el generador de S, o bien que engendra a S. Para representar al subespacio generado S se utilizan las siguientes notaciones, todas equivalentes:[1][3][4][5] en tanto A sea el sistema generador de S. Cuando un sistema generador es linealmente independiente, se dice que constituye una base del espacio que genera.
Formalmente, dado un espacio vectorial V de dimensión n y un subconjunto ordenado
