, se puede aplicar en diversos contextos a vectores, matrices, tensores y espacios vectoriales.
En cada caso, el significado del símbolo es el mismo: la operación bilineal más general.
de dos espacios vectoriales V y W sobre un cuerpo K tienen una definición formal por el método de generadores y relaciones (se denota generalmente como V ⊗ W cuando el cuerpo subyacente K se sobreentiende).
Para construirlo, se comienza con el conjunto de pares ordenados del producto cartesiano V × W. Para propósitos de esta construcción, considérese este producto como un conjunto en vez de un espacio vectorial.
El espacio vectorial libre F sobre V × W se define tomando el espacio vectorial en el cual los elementos de V × W son una base.
Escrito en notación teorética de conjuntos, donde se usa el símbolo e(v,w) para destacar que son tomados como linealmente independientes por definición para distintos (v, w) ∈ V × W. El producto tensorial surge por la definición de las siguientes relaciones de equivalencia en F(V × W): donde v, v1 y v2 son vectores de V, mientras que w, w1, y w2 son vectores de W, y c surge del cuerpo K. Denotando por R el espacio generado por esas cuatro relaciones de equivalencia, el producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W es entonces el espacio cociente Es llamado también espacio producto tensor de V y W y es un espacio vectorial (que puede ser verificado directamente mirando los axiomas de espacio vectorial).
Por construcción, se puede demostrar solamente tantas identidades entre los tensores, y las sumas de tensores, como se siguen de las relaciones usadas.
Tómese el espacio vectorial generado por W x V y aplique (factorice los subespacios generados por) las relaciones multilineales detalladas arriba.
Se muestra simplemente cómo construir una base de los
Esto es suficiente para hacer lo mismo con todas las funciones multilineales.
Formalmente, el producto tensorial de los dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo base F es definido por la siguiente propiedad universal: Es un espacio vectorial T sobre F, junto con un operador bilineal:
para todo x en V e y en W. El producto tensorial es único salvo isomorfismo, especificado unívocamente por este requisito, y podemos por lo tanto escribir
en vez de T. Por la construcción directa, según lo sugerido en la sección anterior, se puede demostrar que existe el producto tensorial para dos espacios vectoriales cualesquiera.
Los espacios tensoriales permiten que se utilice la teoría de operadores lineales para estudiar operadores multilineales, donde el caso bilineal es el principal.
Constrúyase el producto tensorial de H1 y H2 como espacios vectoriales según lo explicado arriba.
Se puede convertir a este producto tensorial de espacios vectoriales en uno con producto escalar definiendo: y extendiendo por linealidad.
Finalmente, tomemos completación de este producto interno.
Los ejemplos siguientes muestran que los productos tensoriales se presentan naturalmente.
la definición de la medida producto nos asegura que todas las funciones de esta forma son cuadrado-integrables, así que ésta define una función bilineal de L²(X) × L²(Y) → L²(X × Y).
Las combinaciones lineales de las funciones de la forma f(x) g(y) están también en L²(X × Y).
Esto demuestra que L²(X) ⊗ L²(Y) es isomorfo a L²(X × Y), y también explica porqué necesitamos tomar la completación en la construcción del producto tensorial del espacio de Hilbert.
Semejantemente, podemos demostrar que L²(X; H), denotando el espacio de las funciones cuadrado-integrables de X → H, es isomorfo al L²(X) ⊗ H si este espacio es separable.
Hay una fórmula particular para el producto de dos (o más) tensores donde se está asumiendo, para simplificar, tensores ortogonales, sin distinción entre índices covariantes y contravariantes.
Los parámetros rango y dimensión de este producto tensorial de dos tensores son los siguientes: Dadas las funciones multilineales f(x1... xk) y g(x1... xm) su producto tensorial es la función multilineal
Los subespacios lineales de operadores bilineales (o en general, operadores multilineales) determinan espacios cociente naturales del espacio tensorial, que son con frecuencia útiles.
Véase producto cuña como primer ejemplo principal.
Otro sería el tratamiento de las formas algebraicas como tensores anti-simétricos.
que contiene todos los funcionales lineales y continuos en ese espacio) corresponde naturalmente al espacio de todos los funcionales bilineales en los
son de dimensión finita, existe un isomorfismo natural entre
En el caso de dimensión arbitraria, tan sólo tenemos la inclusión