partiendo de un espacio vectorial
Un álgebra tensorial se construye a partir de una base de la misma: partiendo de una base vectorial del espacio vectorial base
, se define un producto tensorial no conmutativo de estos elementos y no sujeto a ninguna restricción (más allá de la asociatividad, de la ley distributiva y las
Una vez definidos esos productos, el conjunto
está formado por combinaciones de esos mismos productos.
, mirada en términos que no son intrínsecos, se puede ver como el álgebra de polinomios en n variables que no conmutan sobre K, si V tiene dimensión n. Otras álgebras de interés tales como el álgebra exterior aparecen como cocientes de
es una suma directa de partes graduadas Tk para k = 0, 1, 2,...:
Donde Tk es el producto tensorial de V consigo mismo k veces: y
La función de multiplicación en Ti y Tj mapea a T i + j y es la yuxtaposición natural de los tensores puros, ampliados por bilinealidad.
Es decir, el álgebra tensorial es representante de las álgebras con tensores covariantes que se forman de V y de cualquier rango.
Para tener el álgebra completa de tensores, contravariantes así como covariantes, se debe tomar
y de su espacio dual - esto consistirá en todos los tensores TIJ con los índices superiores J e índices inferiores I, en la notación clásica.
como el álgebra libre sobre el espacio vectorial
De hecho,el funtor que lleva una K-álgebra A a su espacio K-vectorial subyacente está en un par de funtores adjuntos con T, que es su adjunto izquierdo.
El punto de vista de álgebra libre es útil para construcciones como la de un álgebra de Clifford o un álgebra envolvente universal, donde la pregunta sobre la existencia se puede resolver comenzando con T(V) e imponiendo después las relaciones requeridas.
La construcción se generaliza fácilmente al álgebra tensorial de cualquier módulo M sobre un anillo conmutativo.
Dada una variedad diferenciable puede definirse localmente un espacio tangente a partir del cual se puede definir un álgebra tensorial.
Como en cada punto se puede definir un espacio tangente, y dados dos puntos sus respectivos espacios tangentes son isomorfos, puede construirse un álgebra tensorial asociada a toda la variedad diferenciable.