La terminología viene del espacio de Hilbert y la idea del operador adjunto de T, U con
Decimos que F es adjunto izquierdo de G, y G es adjunto derecho de F. Puesto que G puede ser por sí mismo, un adjunto derecho, absolutamente diferente de F (véase abajo para un ejemplo), la analogía colapsa en ese punto.
La sección de ejemplos más abajo proporciona las evidencias; además, las construcciones universales, que pueden ser más familiares, dan lugar a numerosos pares de funtores adjuntos.
De acuerdo con el pensamiento de Saunders MacLane, cualquier idea, tal como funtores adjuntos, que ocurra con suficiente extensión en matemática debe ser estudiada por sí misma.
Alexander Grothendieck utilizó la teoría de categorías para orientarse en ciertos trabajos fundacionales, axiomáticos del análisis funcional, el álgebra homológica y finalmente en geometría algebraica.
Toda la demostración giraba en torno a la existencia de un adjunto derecho para cierto funtor.
Los funtores adjuntos son un método; la noción de propiedades universales proporciona otros, esencialmente equivalente pero probablemente con un enfoque más concreto.
Los morfismos en C debe completar los triángulos que son diagramas conmutativos, y preservar identidad multiplicativa.
El método del funtor adjunto para definir una identidad multiplicativa para los anillos es mirar dos categorías, C0 y C1, de anillos, respectivamente sin y con la asunción de la identidad multiplicativa.
Una forma para ver lo que es alcanzado usando cualquier formulación es intentar un método directo.
(Algunos son más amigos de estos métodos, por ejemplo John Conway.)
El argumento principal en favor de los funtores adjuntos es probablemente este: si uno avanza con propiedades universales o razonamientos impredicativos, bastante a menudo, parecen como una repetición de los mismos pasos.
Cualquier conexión de Galois da lugar a operadores de clausura y a biyecciones inversas que preservan el orden entre los elementos cerrados correspondientes.
Al igual que el caso para los grupos de Galois, a menudo el verdadero interés reside en refinar una correspondencia a una dualidad (es decir isomorfismo de orden antítono).
El orden parcial reduce las definiciones de la adjunción en forma absolutamente perceptible, pero puede proporcionar varios temas: Estas observaciones en su conjunto proporcionan valor explicativo acerca del conjunto de todas las matemáticas.
Un par de funtores adjuntos entre dos categorías C y D consiste en dos funtores F: C → D y G: D → C y un isomorfismo natural que consiste en funciones biyectivas Cada par de funtores adjuntos define una unidad η, una transformación natural del funtor IdC a GF que consisten en morfismos Objetos libres.
Si F: Set → Grp es el funtor que asigna a cada conjunto X el grupo libre sobre X, y si G: Grp → Set es el funtor de olvido que asigna a cada grupo su conjunto subyacente, entonces la propiedad universal del grupo libre demuestra que F es el adjunto izquierdo de G. La unidad de este par adjunto es la inclusión de un conjunto X en el grupo libre sobre X. anillos libres, grupos abelianos libres, y los módulos libres siguen el mismo patrón.
Si F: Ab² → Ab asigna a cada par (X1, X2) de grupos abelianos su suma directa y si G: Ab → Ab² es el funtor que asigna a cada grupo abeliano Y el par (Y, Y), entonces F es el adjunto izquirdo de G, otra vez consecuencia de la propiedad universal de las sumas directas.
La unidad del par adjunto proporciona las inmersiones naturales de los factores en la suma directa.
Análogamente, uno puede demostrar que los funtores de cokernel para los grupos abelianos, los espacios vectoriales y los módulos son adjuntos izquierdos.
Entonces F es adjunto izquierdo del funtor de olvido G: S-Mod → R-Mod.
Este ejemplo adelantó la teoría general por alrededor de medio siglo.
Entonces G tiene un adjunto izquierdo F: Top → D, la compactación de Stone-Čech.
Las construcciones universales son más generales que pares de funtores adjuntos: según lo mencionado anteriormente, una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y solamente si este problema tiene una solución para cada objeto de D. Si el funtor F: C → D tenía dos adjuntos derechos G1 y G2, entonces G1 y G2 son naturalmente isomorfos.
Puesto que muchas construcciones comunes en matemática son límites o colímites, esto proporciona abundante información.
La unidad η : 1C → GF y la co-unidad ε: FG → 1D tienen las propiedades siguientes: la composición (εF)o(Fη), una transformación natural F→FGF→F, es igual a 1F, y la composición (Gε)o(ηG): G→GFG→G es igual a 1G.
Observe sin embargo que el inverso derecho de F (es decir un funtor G tales que el FG es naturalmente isomorfo a 1D) no necesita ser un adjunto derecho (o izquierdo) de F. Adjuntos generaliza inversos biláteros.
No todo funtor G: D → C admite un adjunto izquierdo.
Si D es completo, entonces los funtores con adjuntos izquierdos se pueden caracterizar por el teorema de Freyd del Functor Adjunto: G tiene un adjunto izquierdo si y solamente si es continuo y cierta condición de pequeñez es satisfecha: para cada objeto X de C existe una familia de morfismos fi: X → G(Yi) (donde los índices i vienen de un conjunto I, no una clase propia -- éste es todo el punto), tales que cada morfismo h: X → G(Y) se puede escribir como h = G(t) o fi para algún i en I y algún morfismo t: Yi → Y en D. Una proposición análoga caracteriza los funtores con un adjunto derecho.