K-teoría
La teoría K o K-teoría es una teoría inicialmente desarrollada para estudiar sistemáticamente el estudio de haces coherentes en variedades algebraicas y los fibrados vectoriales en variedades diferenciales.
Análogamente, Vect(X,R,n) para fibrados reales.
dan lugar a los monoides abelianos de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales La teoría K compleja K(X) asociada a X se define como el grupo de Grothendieck asociado al primer monoide, mientras que la teoría K real KO(X) asociada a X es la compleción del segundo monoide.
Los elementos de la teoría K son fibrados virtuales.
La teoría K real se llama también ortogonal.
El origen de la denominación es la palabra klasse, refiriéndose al concepto de clase en alemán.
El producto tensorial de fibrados vectoriales dota a K(X) y KO(X) de la estructura de anillo conmutativo.
Alternativamente, Vect(X,C,n) es un semi-anillo respecto el producto tensorial y la compleción de Grothendieck da lugar a este mismo anillo.
es una aplicación continua entre espacios topológicos, el pull-back de fibrados vectoriales por f induce morfismos de anillos Se puede comprobar que dos aplicaciones
homotópicas inducen el mismo morfismo
La teoría-K compleja y real de un punto X=pt.
se induce un morfismo de K(X) a Z y se define la K-teoría reducida de un espacio X como Nótese que la teoría-K reducida de X es un ideal de la K-teoría de X y dado que no es isomorfo al anillo total no contiene la identidad, el fibrado de línea trivial.
el fibrado tangente del espacio proyectivo real satisface la ecuación con
denota la clase del fibrado trivial de rango 1.
En efecto, la aplicación enviando la recta definida por un vector tangente a una recta del espacio ortogonal define un isomorfismo La igualdad en K-teoría se deduce del hecho que
tiene una sección global, la identidad, y luego es trivial: Análogamente en
se tiene Un ejemplo fundamental en la teoría es el cálculo de
Sean E,F fibrados vectoriales sobre X, E y F son establemente isomorfos si existen dos naturales n,m tales que Si se requiere adicionalmente n=m se dice que los fibrados son estrictamente establemente isomorfos.
son establemente isomorfos, no estrictamente.
El hecho topológico esencial para demostrar el teorema es la existencia de un fibrado ortogonal trivializante.
De forma precisa, dado un fibrado
existe un fibrado E' tal que para algún natural s. Esto permite escribir un fibrado virtual como diferencia de una clase de fibrado en Vect(X,C,n) y un múltiplo de la clase trivial.
El isomorfismo viene dado por esta asociación, enviando E a la diferencia de E y el rango.
La palabra estable en este contexto no tiene relación con la estabilidad de fibrados definida por la condición GIT.
En esta sección estudiamos la teoría-K reducida de una esfera
Teniendo en cuenta que las esferas se obtienen por suspensión de una esfera de dimensión inferior,
, y que la suspensión es el functor adjunto por la izquierda del functor espacio de lazas
obtenemos las siguientes biyecciones El último conjunto es en biyección con el grupo de homotopía (k-1)-ésimo de Gl(C,n), como este grupo retrae a U(n) concluimos Para entender la teoría-K es necesario tener en cuenta todas los posibles rangos n. El resultado principal es el siguiente isomorfismo de grupos: Teorema:
es un anillo generado por el fibrado de línea canónico
La relación se deduce directamente del cálculo en la sección de ejemplos usando que
