Fibrado
En topología, un fibrado (o haz fibrado) es una función continua suprayectiva π, de un espacio topológico E en otro espacio topológico B, satisfaciendo otra condición que lo hace de una forma particularmente simple localmente.
es una aplicación continua y sobreyectiva, de manera que para cualquier
Equivalentemente, para todo punto de B existe un entorno
tal que el siguiente diagrama conmuta: La aplicación
es abierta por ser una proyección en un producto cartesiano y B tiene la topología cociente.
se llama el espacio de base del fibrado,
se pueden entender por contexto y decir que E es un fibrado sobre B.
un círculo y fibra F=(0,1) un segmento de línea.
El fibrado vectorial se llama real o complejo si la fibra F es un espacio vectorial real o complejo respectivamente.
Un espacio recubridor o cubierta es un fibrado, aquí la F es un conjunto discreto.
Existen en la literatura una amplia cantidad de ejemplos con variedades específicas o fibras prescritas.
con fibra isomorfa al espacio de lazos
Un primer paso en la clasificación de fibrados es fijar el espacio base B y clasificar los fibrados con base B salvo isomorfismo.
En esta sección introducimos posibles operaciones en la categoría de fibrados en espacios topológicos.
Para fibrados particulares es posible desarrollar operaciones específicas, por ejemplo las operaciones de álgebra lineal como el espacio dual, el determinante, el producto tensorial y el producto exterior extienden a las correspondientes nociones para fibrados vectoriales.
son isomorfas y que existe un morfismo natural de
Esta operación es functorial contravariante con respecto a la composición de morfismos, es decir,
no es más que la restricción del fibrado producto cartesiano a la diagonal
En esta sección se mencionan propiedades de los fibrados en relación con las homotopías.
Las demostraciones son ejercicios y se pueden encontrar en cualquier texto de referencia.
El resultado fundamental para entender el comportamiento de los fibrados por homotopía es el siguiente: Sea
Del enunciado anterior se siguen dos corolarios: (1) Sean
un retracto de deformación y E un fibrado sobre B.
Se deduce del segundo resultado que si el espacio base B es contráctil cualquier fibrado
Una sección de un fibrado es una función continua, f: B → E tal que π(f(x))=x, para x en B.
La condición indica que cada G-órbita reside dentro de una sola fibra.
En ese caso, G se llama grupo estructural del fibrado.
Un ejemplo de un fibrado principal que ocurre naturalmente en geometría es el fibrado de todas las bases de los espacios tangentes a una variedad, con G grupo general lineal; la restricción en geometría de Riemann a las bases ortonormales, limitaría G al grupo ortogonal.
Hacer G explícito es esencial para las operaciones de crear un fibrado asociado, y hacer precisa la reducción del grupo estructural de un fibrado.
Una instancia de ello son las teorías gauge donde los fibrados principales codifican las nociones físicas de simetrías, potenciales y fuerza en términos del grupo de estructura, las conexiones y la curvatura.
