Análogamente permite estudiar cuando un par de aplicaciones son homótopas.
Supongamos que la homotopía de Y es simple, por ejemplo que el grupo fundamental actúe trivialmente en los grupos de homotopía superior.
Nótese que este es el caso si Y es simplemente conexo.
Sea f una aplicación continua definida en el k-esqueleto
Es decir, para cada k-celda que se añade tenemos una aplicación Podemos componer esta aplicación con f obteniendo para cada celda que se adjunta una aplicación Teniendo en cuenta que la adjunción depende de la clase de homotopía de la aplicación esto da elementos en el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones Como el grupo fundamental actúa trivialmente en la homotopía superior de Y, para cada celda tenemos un único elemento del grupo de homotopía
Tenemos pues una aplicación del conjunto de k+1-celdas al grupo
Es sencillo comprobar que las orientaciones son compatibles, es decir que invertir la orientación de la celda cambia el signo del elemento del grupo de homotopía, y obtenemos homomorfismos de grupos En otras palabras, tal morfismo es un elemento Este (co)cadena se llama cocadena de obstrucción, nótese que depende sólo de la clase de homotopía de f. Esta aplicación f extiende al k+1-esqueleto si y sólo si es posible extender la aplicación al interior de las k+1-celdas, es decir, si y sólo si
Otra propiedad relevante del cociclo de obstrucción es el hecho que el cociclo de obstrucción para otra aplicación g definida en el k-esqueleto que coincida con f en el (k-1)"-esqueleto difiere del cociclo de obstrucción de f en una cofrontera.
En resumen, la discusión anterior conduce al siguiente Teorema: Sea f a Y una aplicación definida en el k-esqueleto de X, si Y es simplemente conexo entonces existe una clase c(f) en el grupo (k+1)-ésimo de cohomología del par (X,A) con coeficientes en el k-ésimo grupo de homotopía de Y, i.e.
Con esta notación, un enunciado más preciso sería Teorema: En las hipótesis anteriores, el cociclo de obstrucción de f es cero si y sólo si f restringida a
Estudiando los posibles representantes de las clases de cohomología de los cociclos de obstrucción, es sencillo concluir el siguiente Lema: Sean f y g dos aplicaciones homótopas definidas sobre el k-esqueleto, la obstrucción para extender la homotopía al k+1-esqueleto es un elemento del grupo
Todo fibrado vectorial admite una sección: el problema geométrico es hallar una sección no nula del fibrado E. Normalizando si es necesario, esto es equivalente a hallar una sección del fibrado de esferas S(E): esto es el subfibrado de E formado por las (n-1)-esferas unidad de cada fibra.
Nótese que no es un fibrado vectorial y luego no es inmediato que admita una sección global.
Mediante teoría de la obstrucción vemos que las posibles clases de obstrucción viven en los grupos
(2) El estudio de secciones de un G-fibrado principal permite estudiar las reducciones del grupo de estructura G. Esto provee un método para calcular explícitamente la existencia de ciertas estructuras geométricas en una variedad diferencial: estructura Riemanniana, casi compleja, casi contacto y más.
Concretemos para estructuras casi complejas en esferas, esto es un endomorfismo J del fibrado tangente tal que
El determinante de la igualdad anterior implica que una condición necesaria es que la dimensión de la variedad sea par.
Dar una estructura casi compleja en una variedad diferenciable es equivalente a estudiar si su fibrado de frames admite una reducción del grupo ortogonal SO(2n) al grupo unitario U(n).
La teoría de la obstrucción da lugar al siguiente Teorema: La 6-esfera admite una estructura casi-compleja.
Aunque es posible describirla explíticamente, veamos que las clases de obstrucción de un SO(6)/U(3)-fibrado sobre la 6-esfera son nulas.
En efecto, primero se comprueba que hay un difeomorfismo
Las obstrucciones viven entonces en Estos grupos son cero si k>5 por ser la base 6-dimensional.
La fibración de Hopf y la sucesión larga de homotopía para una fibración establecen que el único grupo de homotopía no nulo restante del 3-espacio complejo proyectivo es
no admiten ninguna estructura casi compleja.
Es un ejercicio con el teorema de Riemann-Roch demostrar que la 4-esfera tampoco.
Consecuentemente las únicas esferas que admiten una estructura casi compleja son
(3) Dado G un grupo finitamente presentado y un entero n fijado, podemos construir un espacio con todos los grupos de homotopía nulos excepto el n-ésimo y tal que éste sea precisamente (isomorfo a) G. Este espacio recibe el nombre de espacio de Eilenberg-MacLane y se denota K(G,n).
Es un buen ejercicio construir el espacio, por ejemplo, a partir de un producto wedge de n-esferas, tantas como generadores tiene la presentación del grupo.
La teoría de la obstrucción en este caso es útil para probar la unicidad salvo equivalencia homotópica.
Si tenemos otro espacio, un CW-complejo, con esta misma propiedad tenemos una aplicación del producto wedge de n-esferas a este espacio induciendo un isomorfismo en el grupo n-ésimo de homotopía.