El espacio de caminos de un espacio topológico con punto base (X,x_0) es un objeto fundamental en topología algebraica y en teoría de la homotopía, especialmente desde los resultados de J.P.
En este artículo citamos las propiedades básicas de este espacio topológico y del espacio de lazos asociado.
Los caminos del espacio X son aplicaciones continuas de [0,1] en X; en la categoría de espacios con punto base los caminos del espacio
son aplicaciones continuas ([0,1],0), luego la imagen de
dotado de la topología compacto-abierta.
enviando cada camino al punto final, i.e.
La fibra de esta aplicación es homotópica al espacio de lazos
y U un entorno contráctil de x: la inclusión de x en U induce una aplicación
con inversa homotópica la aplicación inducida por la contracción de U a x.
pertenecen a la misma componente arcoconexa entonces un camino entre x e y induce
De hecho, se puede demostrar que la aplicación
satisface la propiedad homotópica de cubierta y es por lo tanto una fibración de Serre.
Observemos que el espacio
es contráctil, luego su relevancia proviene de sus relaciones con X y
La fibración del espacio de caminos permite calcular la cohomología del espacio de lazos de ciertos espacios topológicos.
Nótese que la fibración
para abiertos contráctiles dado que
: usamos la sucesión espectral de Leray.
La sucesión converge hacia la página
, así que el único elemento no cero de la página límite es
Teniendo en cuenta que
, las únicas columnas no vacías en
son la primera (p=0) y la tercera (p=2).
En consecuencia los diferenciales en las páginas siguientes son nulos y por lo tanto los diferenciales
El ejemplo anterior generaliza trivialmente para calcular
Ciertamente, sólo se tiene que llegar a la página
y aplicar el argumento anterior.
En las referencias se calcula además la estructura de anillo de cohomología, es decir, los productos cup entre los generadores.
tiene implicaciones directas en la existencia de (infinitas) geodésicas entre dos puntos.
Este aplicación es debida a Raoul Bott y se puede encontrar en el libro de J.W.