Homotopía
[1] En la práctica, hay dificultades técnicas en el uso de homotopías con ciertos espacios.
Los topólogos algebraicos trabajan con espacios compacto generados, CW-complejo, o espectro.
se dicen homótopas si existe otra aplicación (continua también)
Una notación alternativa es decir que una homotopía entre dos funciones continuas
[3] La animación que está en bucle arriba a la derecha proporciona un ejemplo de una homotopía entre dos encajes, f y g, del toro en R3.
Se dice que las funciones continuas f y g son homotópicas si y sólo si existe una homotopía H que lleva f a g como se ha descrito anteriormente.
Si tal par existe, entonces se dice que X e Y son homotópicamente equivalentes, o del mismo tipo homotópico'.
Intuitivamente, dos espacios X e Y son homotópicamente equivalentes si pueden transformarse el uno en el otro mediante operaciones de flexión, contracción y expansión.
Los espacios que son homotópicamente equivalentes a un punto se llaman contráctiles.
Un homeomorfismo es un caso especial de una equivalencia homotópica, en la que g ∘ f es igual al mapa identidad idX (no sólo homotópico a él), y f ∘ g es igual a idY.
Algunos ejemplos: Se dice que dos espacios X, Y tienen el mismo tipo de homotopía, si existe un par de aplicaciones
, para indicar que los objetos f y g son homótopos.
Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo de homotopía.
Las mismas son homotopías que mantienen fijos los elementos del subespacio.
También, si g es una retracción de X a K y f es la aplicación identidad, se conoce como retracción de deformación de X a K. Cuando K es un punto, se utiliza el término fomotopía puntual.
En caso de que las dos funciones continuas dadas f y g del espacio topológico X al espacio topológico Y sean encajes, uno puede preguntarse si pueden conectarse 'a través de encajes'.
Esto da lugar al concepto de isotopía, que es una homotopía, H, en la notación utilizada antes, tal que para cada t determinado, H(x, t) da un encaje.
[6] Un concepto relacionado, pero diferente, es el de isotopía ambiental.
Además, f ha cambiado la orientación del intervalo y g no, lo cual es imposible bajo una isotopía.
Por esta razón, el mapa del disco unitario en R2 definido por f(x, y) = (−x, −y) es isotópico con una rotación de 180-grados alrededor del origen, y por lo tanto el mapa de identidad y f son isotópicos porque están relacionados mediante rotaciones.
Por ejemplo, cuando es que dos nudos deben ser considerados el mismo?
Si se tiene n dos nudos, K1 y K2, en un espacio tridimenasional.
Los nudos K1 y K2 son considerados equivalentes cuando existe una isotopía ambiental que desplaza K1 a K2.
Un ejemplo famoso es el Teorema fundamental del álgebra, que indica que cualquier polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz en ℂ4 .
Dado que la función que asocia β s(t) con s y t es continua, este bucle β0 es homotopico a β1 = αρ.
Como este último es homotópico en un punto, es decir que hace 0 vueltas alrededor del origen, n es igual a 0.
Si X es un espacio topológico, podemos componer dos bucles de la misma base p (es decir, del mismo origen y del mismo final p) α1 y α2 construyendo un bucle que primero atraviese la trayectoria de α1, luego el de α2.
[8] Esta noción se generaliza y permite definir una infinidad degrupos de homotopía.
Este grupo está en el origen de las manifestaciones.
