Grupo de homotopía

El primer y más sencillo grupo de homotopía es el grupo fundamental, que registra información sobre las familias de curvas cerradas en un espacio.

Intuitivamente, los grupos homotópicos registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico.

Dos aplicaciones o mapas son homotópicos si uno puede ser deformado de forma continua hasta convertirlo en el otro.

, se define como el conjunto de los mapas de una esfera n-dimensional Sn en un espacio dado X, basados en un punto fijo x0.

El toro tiene un "agujero", a diferencia de la esfera.

Sin embargo, ya que la continuidad (la noción básica de topología) sólo se ocupa de la estructura local, puede resultar difícil definir formalmente obvias diferencias globales.

En cuanto al ejemplo: El primer grupo de homotopía del toro T es debido a que la cobertura universal de un toro es el plano complejo ℂ, mapeando un toro T ≅ ℂ / ℤ2.

En la hiperesfera Sn, se elige un punto fijo a.

Para otro espacio X se elige un punto fijo x0.

como el grupo de clases homotópicas de mapas desde el hipercubo unitario en X, que mapean el contorno del n-cubo en x0.

En el caso particular del primer grupo (grupo fundamental), el producto de dos lazos f y g se define como: La idea de la composición en el grupo fundamental consiste en recorrer el primer lazo y después el segundo de manera consecutiva, o de manera equivalente, colocar sus dos dominios juntos.

Aunque pueda resultar tentador, no es posible omitir los puntos fijos en la definición de los grupos de homotopía, dado que dicho argumento no funcionaría en espacios que no son simplemente conexos, ni siquiera cuando son conexos por caminos.