Esfera
La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada en topología, o esfera, como en geometría elemental del espacio.
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar).
Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al cuerpo delimitado por una esfera.
La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denomina radio.
En este caso se genera al rotar una semicircunferencia, usando como eje de rotación su diámetro.
[2] Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio.
La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de su radio.
Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro.
Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el mismo espacio.
Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera.
Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro: Esta relación de volúmenes se atribuye a Arquímedes.
Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.
La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:
La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia.
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es: Por otra parte, dos esferas se intersecan si: y (son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.
Dicho plano es único y siempre existe, dado un punto
Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional.
En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.
Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos– para definir el signo del ángulo θ Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ.
Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.
En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte.
Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical, donde sirve cualquier valor de φ.
lo que permite calcular los In también por inducción, conociendo I0 e I1.
[8] La noción de esfera se generaliza a cualquier espacio métrico
Para un vector u(x, y, z) cualquiera, se definen las normas siguientes: :u2 = √(x² + y² + z²).
Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual.
S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la izquierda).
En geometría, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican como
[9] La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor.
