Empaquetamiento de esferas

Un problema típico de empaquetamiento es encontrar la disposición en que las esferas rellenen la mayor proporción posible del espacio.

Como la densidad de empaquetamiento puede depender del volumen en que se mida, el problema trata normalmente de la densidad media mayor o asintótica, medida en un volumen lo suficientemente amplio.

Estudiemos en un espacio tridimensional un plano con una disposición compacta de esferas sobre el mismo.

Si repetimos esto "en todas partes" en un segundo nivel por encima del primero, habremos creado una nueva disposición compacta.

Pero todas las combinaciones son posibles (ABAC, ABCBA, ABCBAC, etc.) En todas estas disposiciones cada esfera está rodeada por otras 12, y ambas disposiciones tienen una densidad media de En 1611 Johannes Kepler había conjeturado que esta es la densidad máxima de las disposiciones tanto regular como irregular – esto fue conocido como la conjetura de Kepler.

Sin embargo, la sexta esfera colocada de esta manera, hace que la estructura sea incompatible con cualquier disposición regular.

El apoyo a esta conjetura proviene del hecho de que en ciertas dimensiones (por ejemplo 10) el empaquetamiento irregular más denso conocido es mejor que el empaquetamiento regular más denso conocido.

En la actualidad, el mejor resultado conocido es un enrejado en la dimensión n con una densidad mayor o igual a cn2 -n para algunos números c. Aunque el concepto de círculos y esferas puede ampliarse a espacios hiperbólicos, la búsqueda del empaquetamiento más denso se hace mucho más difícil.