Superficie de Riemann
Estas superficies fueron estudiadas por primera vez por y llevan el nombre de Bernhard Riemann.
Las superficies de Riemann se pueden considerar como versiones deformadas del plano complejo: localmente, cerca de cada punto, parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente.
Toda superficie de Riemann es un colector analítico real bidimensional (es decir, una superficie), pero contiene más estructura (concretamente un estructura compleja) que es necesaria para la definición inequívoca de las funciones holomorfas.
Los hechos geométricos sobre las superficies de Riemann son lo más "bonitos" posible, y a menudo proporcionan la intuición y la motivación para generalizaciones a otras curvas, variedades o variedades.
La extensión maximal (extensión analítica) se lograba no sobre el propio plano complejo, sino sobre copias de abiertos del mismo que se solapaban, en lo que hoy día conocemos como variedad compleja de dimensión uno.
Las dos superficies de Riemann M y N se llaman biholomorfismo (o conformacionalmente equivalentes para enfatizar el punto de vista conformacional) si existe una función biyectiva holomorfa de M a N cuya inversa es también holomorfa (resulta que esta última condición es automática y por tanto puede omitirse).
Dos superficies de Riemann conformes equivalentes son idénticas a efectos prácticos.
En realidad, se puede demostrar que toda superficie compacta de Riemann puede ser incrustada en 3-espacio proyectivo complejo.
Si se añade una condición global, a saber, la compacidad, la superficie es necesariamente algebraica.
La afirmación correspondiente para objetos de dimensiones superiores es falsa, es decir, existen 2manifolds complejos compactos que no son algebraicos.
Por otra parte, toda variedad compleja proyectiva es necesariamente algebraica, véase Teorema de Chow.
Invertir esto se consigue mediante el j-invariante j(E), que puede utilizarse para determinar τ y, por tanto, un toroide.
Esto contrasta con que en una superficie de Riemann compacta toda función holomorfa es constante debido al principio del máximo.
Existen numerosos grupos Fuchsianos, y su estudio es un ramo importante de la geometría moderna.
Existe una clasificación diferente para las superficies de Riemann que suelen utilizar los analistas complejos.
