En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo
[2] Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento
En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo
denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de
Así los axiomas de acción se reescriben: Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto
, para no causar confusión con los elementos del grupo
El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier
, que lleva cada elemento en sí mismo.
Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.
Un tipo importante de acción es aquella en la que
como el conjunto de todos los elementos del grupo
que actúan trivialmente sobre todo punto de
, y como tal es un subgrupo normal del
Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo
es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo:
contiene a los elementos del conjunto
es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio
, lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.
, existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en
es un conjunto finito y su cardinalidad es Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro: Lo anterior se deriva de que si
, entonces se dice que el grupo actúa sobre sí mismo.
Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo son por multiplicación y por conjugación.
actúa sobre sí mismo por multiplicación[nota 2] por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por[13] Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo
El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo es inyectivo.
Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo
es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico.
actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por[15] El estabilizador de cada punto
Nótese que entonces Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación.
Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por
En consecuencia Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases: Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de