Cardinalidad
Existen dos aproximaciones a la cardinalidad, una que compara conjuntos directamente usando biyecciones e inyecciones, y otra que utiliza números cardinales.
[1] La cardinalidad de un conjunto también se suele llamar su tamaño, cuando no existe confusión con otras nociones de tamaño.
[2] La cardinalidad de un conjunto A usualmente se denota | A |, con una pleca en cada lado; esta es la misma notación que la del valor absoluto y el significado depende del contexto.
Mientras que la cardinalidad de un conjunto finito es simplemente el número de sus elementos, para extender la noción a conjuntos infinitos habitualmente se empieza definiendo la noción de comparación en conjuntos arbitrarios (en particular infinitos).
Esto es, la cardinalidad de un conjunto no se definió como un objeto específico en sí.
Sin embargo, se puede definir dicho objeto como sigue: La relación de tener la misma cardinalidad se denomina equipotencia, y esta es una relación de equivalencia sobre la clase de todos los conjuntos.
La clase de equivalencia de un conjunto A bajo esta relación consiste por tanto en todos los conjuntos con la misma cardinalidad que A.
es el menor número cardinal mayor que
La cardinalidad de los números naturales se denota álef-0 (
), mientras que la cardinalidad de los números reales se denota "
" (una letra Fraktur minúscula "c"), también se denomina cardinalidad del continuo.
Cantor probó, usando el argumento de la diagonal, que
es el menor número cardinal mayor que
, y por tanto no hay ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los enteros y la de los números reales.
[5][6][7] Si el axioma de elección se cumple, la ley de tricotomía se cumple para la cardinalidad.
A finales del siglo diecinueve, Georg Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind y otros matemáticos rechazaron la visión de que el todo no puede ser del mismo tamaño que la parte.
Un ejemplo es la paradoja del hotel infinito de Hilbert.
De hecho, Dedekind definió un conjunto infinito como aquel que tiene una correspondencia inyectiva con algún subconjunto estricto suyo (esto es, tener el mismo tamaño en el sentido de Cantor); esta noción de infinito se llama infinito de Dedekind.
Cantor introdujo los números cardinales, y mostró que (de acuerdo a su definición de tamaño basada en biyecciones) algunos conjuntos infinitos son mayores que otros.
La cardinalidad infinita más pequeña es la de los números naturales (
satisface: La hipótesis del continuo afirma que no hay ningún número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, esto es, Sin embargo, esta hipótesis no se puede probar ni falsear en la ampliamente aceptada axiomática de Zermelo-Fraenkel, si esta es consistente.
Estos resultados son altamente contraintuitivos, ya que implica que existen subconjuntos propios y superconjuntos propios de un conjunto infinito S que tienen el mismo tamaño que S, aunque S contiene elementos que no pertenecen a sus subconjuntos, y los superconjuntos deS contienen elementos que no están incluidos en él.
El primero de estos resultados es directo al considerar, por ejemplo, la función tangente, que da una correspondencia biyectiva entre el intervalo (−½π, ½π) y R. El segundo resultado lo demostró Cantor en 1878, pero resultó más claro en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que rellenan el espacio, líneas curvas que giran lo suficiente para llenar completamente cualquier cuadrado, cubo o hipercubo, o espacio finito-dimensional.
Estas curvas no son una prueba directa de que una recta tiene el mismo número de puntos que un espacio finito-dimensional, pero se pueden usar para obtener dicha prueba.
se pueden demostrar usando la aritmética de cardinales: Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces De aquí se puede probar que en general las cardinalidades de uniones e intersecciones están dadas por[8]
