El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita.
, el cardinal de este conjunto se simboliza mediante
tiene tres elementos, el cardinal se indica así:
El concepto de número cardinal fue desarrollado y propuesto por Georg Cantor, en 1874, quien lo amplió a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es trivial.
Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos.
Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} son distintos, pero ambos tienen cardinalidad 3.
Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos.
Esta correspondencia uno a uno le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito.
= {1, 2, 3, ...}), Cantor publicó en 1891 una demostración de que hay conjuntos infinitos más grandes que el de naturales (su famoso argumento diagonal).
Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad
, debido a que era posible establecer la relación biunívoca con
con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota: o bien La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir: La relación
excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.
Es posible demostrar que si y esto implica que: El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero): El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por
Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el
(Álef), induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación
La hipótesis del continuo afirma que de hecho
Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos.
Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF.
Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa.
Esta situación es similar a la de las geometrías no euclídeas.
En ese contexto se define la cardinalidad de un ordinal como:
Todos los cardinales forman una clase dentro de los ordinales.
En particular, todos los ordinales regulares son cardinales.
Resulta trivial demostrar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}: El cardinal del conjunto infinito P = {x ∈
tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales: Al ser 3 y 2 números primos, para cada par x, y obtendremos un número distinto.
De hecho, estudiando un poco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, y entre dos racionales siempre hay un real irracional.
son comparables según el número de elementos, pero resulta que
Si un número racional q es igual a r/s, siendo estos dos números primos relativos entre sí, entonces definimos: Esto demuestra que
y los naturales son asimilables a un conjunto de los racionales, tenemos la cadena de desigualdades: Por lo tanto: Dados dos conjuntos disjuntos