Número cardinal (teoría de conjuntos)
El cardinal de un conjunto finito es un número natural ordinario.
Establecida esta relación, los cardinales son representantes de todos los tamaños posibles para un conjunto.
Existe una sucesión infinita de cardinales: que empieza con los números naturales (con cero), y continúa con los números alef, que son cardinales de conjuntos bien ordenados.
Dependiendo de si se asume el axioma de elección o no, los alefs agotan todos los cardinales posibles o no.
En el siglo XIX, Georg Cantor halló una manera de efectuar esta comparación aun cuando los conjuntos involucrados sean infinitos.
Para ello, propuso poner los elementos de ambos conjuntos en parejas (estableciendo una correspondencia): de este modo, si todos quedan emparejados sin que sobre ni falte ninguno se dice que son equipotentes.
Sin embargo, ambos conjuntos son equipotentes ya que pueden emparejarse como sigue:
Sin embargo, Cantor descubrió que no todos los conjuntos infinitos son equipotentes.
Cantor asignó entonces un número cardinal a cada conjunto infinito, un cierto objeto que representaba su tamaño, de modo que dos conjuntos serían equipotentes cuando les correspondiera el mismo cardinal.
En 1876, Cantor probó la no equipotencia de naturales y reales.
También demostró que en la serie transfinita se dan infinitas clases numéricas cada vez más grandes.
Mediante estas clases numéricas estableció la clasificación de las potencias infinitas, e introdujo la notación de los álefs, en la que ℵn representa la clase numérica n + 1 (donde n en general era un transfinito u ordinal), que formaban otra serie transfinita de todas las posibles cardinalidades infinitas.
También puede definirse una relación de minuspotencia, que represente la noción de que un conjunto tenga menor tamaño: Un conjunto A es minuspotente a otro conjunto B si existe una función inyectiva f: A → B entre ello.
Al definir número cardinal de manera general se extiende este razonamiento a cualquier conjunto, finito o infinito.
Al definir número cardinal se construye una asignación en la que a cada conjunto X le corresponde otro conjunto |X| (único), el cardinal de X, de forma que se cumpla la siguiente propiedad básica: Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y solo si son equipotentes: Al cardinal de un conjunto X se le denota entonces por
Sin embargo, en general, dos ordinales infinitos distintos pueden ser equipotentes: por ejemplo, todos los ordinales de la forma ω·n + m con m y n ≥ 1 naturales son numerables, esto es, equipotentes a los números naturales ω.
Como cualquier conjunto de ordinales es siempre un conjunto bien ordenado, siempre existirá un mínimo con esa definición un cardinal es un ordinal que cumple que:
La serie de los alefs asigna un cardinal de Von Neumann infinito ℵα a cada ordinal α mediante recursión transfinita: El alef asociado a un ordinal viene dado por:
y por esto se denota habitualmente al cardinal de los números naturales como ℵ0.
Puede demostrarse que todo cardinal de Von Neumann infinito es un alef.
Por tanto, si no se asume (o se postula su negación), no todo conjunto es bien ordenable, ni equipotente a un cardinal de Von Neumann.
Sin embargo, es posible definir una noción distinta y más general de número cardinal que se extienda para todos los conjuntos.
Esta noción sencilla, que prevaleció en la literatura hasta los años 50, es inapropiada dado que esta clase de equivalencia no es un conjunto.
es un conjunto que verifica: Los número cardinales así definidos (generales) se suelen denotar por letras góticas:
Puede demostrarse que estas propiedades son de hecho equivalentes al axioma de elección: Son equivalentes: Además, los cardinales de Von Neumman tienen el cardinal que representan: para todo κ, |κ| = κ.
Por último, a la hora de tomar potencias de cardinales, se generaliza el hecho de que dados dos conjuntos finitos X e Y, existen exactamente #Y#X funciones posibles cuyo dominio es X y cuyo codominio es Y. Denotando por BA el conjunto de todas las aplicaciones f : A → B, se tiene la siguiente propiedad: El cardinal del conjunto de funciones entre dos conjuntos solo depende del cardinal de dichos conjuntos:
Así, una función queda especificada por un par ordenado de números (m,n).
En general, para todo número natural no nulo n, ℵ0n = ℵ0.
El caso AN es distinto, pues se han de encontrar todas las funciones f : N → A, especificando las imágenes de cada número natural f(n), que pueden valer ♠ o ◊.
Hipótesis del continuoNo existe un cardinal entre ℵ0 y c. Si se asume el axioma de elección, existe un mínimo cardinal mayor que ℵ0, ℵ1.
