Axioma de elección
Fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo, para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado.
[2][1] Aunque originalmente fue controvertido,[3][4][5] hoy en día es usado sin reservas por la mayoría de los matemáticos.
Con esta definición, podemos enunciar el axioma de la elección como:
Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección se usaba casi siempre implícitamente.
En tal caso es equivalente a decir que si se tiene un número finito de cajas, cada una con al menos un objeto, se puede escoger exactamente un objeto de cada caja.
Como solo hay finitas cajas, este procedimiento de elección se concluirá finalmente.
Una prueba formal para todo conjunto finito requeriría el principio de inducción matemática.
Si no se pueden hacer elecciones explícitas, ¿cómo saber que existe el conjunto deseado?
Primero se podría intentar proceder como si X fuera finito; pero si se intenta escoger un elemento de cada conjunto, como X es infinito, el procedimiento de elección no terminará nunca y nunca se podrá producir una función de elección para X.
Tal vez a este punto uno se sienta tentado a pensar: "aunque el orden usual de los números reales no funciona, debería ser posible encontrar un orden diferente que sea, este sí, un buen orden; entonces la función de elección puede ser tomar el elemento mínimo de cada conjunto respecto al nuevo orden".
El problema entonces se "reduce" al de encontrar un buen orden en los reales, lo que requiere del axioma de elección para su realización: todo conjunto puede ser bien ordenado si y solo si vale el axioma de elección.
[1] Una demostración que haga uso del axioma de elección nunca es constructiva: aún si dicha demostración produce un objeto, será imposible determinar exactamente qué objeto es.
En consecuencia, aunque el axioma de elección implique que hay un buen orden en los reales, no da un ejemplo.
[12] En consecuencia, asumir el axioma de elección o su negación nunca llevará a una contradicción que no se pudiera obtener sin tal supuesto.
La prueba, como todas las pruebas que involucran el axioma de elección, es solo de existencia: no dice cómo se debe cortar la esfera, solo dice que se puede hacer.
En otras palabras, si se asume la negación de este, hay dos conjuntos S y T de tamaño incomparable: ninguno se puede inyectar en el otro.
Asimismo, todas las afirmaciones listadas abajo que requieren elección o alguna versión más relajada, son indecidibles en ZF; pero por ser demostrables en ZFE, hay modelos de ZF en los que sí serían ciertas.
