Filtro (matemáticas)
En matemáticas, específicamente en teoría del orden, retículos y topología, un filtro es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado.
, (es decir, el conjunto conformado por todos los subconjuntos de
), ordenado mediante la relación de inclusión.
Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan in 1937[1][2] y utilizados subsecuentemente por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de red desarrollada en 1922 por E.
es un filtro si se dan las siguientes condiciones: Un filtro se dice propio si no es igual a todo el conjunto
Mientras que la definición de arriba es la manera más general para definir un filtro sobre "posets" arbitrarios, originalmente se definió solo para los reticulados, en cuyo caso, la definición de arriba puede caracterizarse por la siguiente proposición equivalente: Un subconjunto no vacío
es un filtro, si y solo si es un conjunto "upper" que es cerrado bajo finitas "meets":
El filtro más pequeño que contenga cierto elemento dado
Debido a esta dualidad la discusión sobre los filtros repite la de los ideales.
De ahí que la mayor parte de la información adicional sobre ellos (incluyendo la de filtros maximales y filtros primos) se encuentra en el artículo sobre ideales.
Un caso importante de filtros en teoría del orden son los filtros de conjuntos, que se obtienen tomando el conjunto potencia de un conjunto dado
con las siguientes propiedades: Las tres primeras propiedades implican que un filtro de conjunto tiene la Propiedad de la Intersección Finita.
Debido a ello, algunas veces es llamado filtro propio de un conjunto; desde luego, tan claro como sea el contexto del conjunto, el nombre más breve es suficiente.
con las siguientes propiedades: Dado una base de filtro
, se puede obtener un filtro (propio) al incluir todos los conjuntos de
que contienen a algún subconjunto de
Si B y C son dos bases de filtro en S, se dice que C es más fino que B (o que C es un refinamiento de B), si para cada B0 ∈ B existe C0 ∈ C tal que C0 ⊆ B0.
Para las bases de filtros B y C, si B es más fina que C, y C es más fina que B, entonces se dice que B y C son bases de filtro equivalentes.
Dos bases de filtro son equivalentes si y solo si los filtros que generan son iguales.
Para las bases de filtros A, B y C, si A es más fina que B, y B es más fina que C, A es más fina que C. Por tanto la relación de refinamiento es un preorden en el conjunto de las bases de filtros, y el pasaje de una base de filtro a un filtro es un ejemplo de un preordenamiento al ordenamiento parcial asociado.
Dado un subconjunto T de P(S) podemos preguntar cuándo existe un filtro más pequeño F que contiene a T. Tal filtro existe si y solo si la intersección finita de subconjuntos de T es no vacía.
Llamamos a T subbase de F, y se dice que F está generado por T. La subbase T puede construirse tomando todas las intersecciones finitas de T, el cual es entonces una base de filtro para F.
