Análisis funcional
En la visión moderna inicial, se consideró el análisis funcional como el estudio de los espacios vectoriales normados completos sobre los reales o los complejos.
Estos conducen naturalmente a la definición de C* álgebra y otras álgebras de operadores.
Dado que un espacio de Banach es un espacio vectorial, una base es un sistema de generadores linealmente independiente.
Un conjunto de vectores es fundamental si la clausura topológica del subespacio vectorial que engendra es el espacio completo.
El espacio de Banach es, en este caso, el conjunto de las funciones continuas en un compacto y el conjunto fundamental las potencias enteras del argumento.
Para cualquier número real p ≥ 1, un ejemplo de un espacio de Banach viene dado por los espacios Lp.
Esto se explica en el artículo espacio dual.
La noción de derivada se amplía a las funciones arbitrarias entre los espacios de Banach; resulta que la derivada de una función en cierto punto es realmente una función lineal continua.
Aquí enumeramos algunos resultados importantes del análisis funcional: La clase básica e históricamente primera de espacios estudiados en análisis funcional son los completo (sobre el real o número complejo).
Estos espacios son de importancia fundamental en muchas áreas, incluyendo la formulación matemática de la mecánica cuántica, aprendizaje automático, ecuaciones diferenciales parciales y análisis de Fourier.
Un importante objeto de estudio en análisis funcional son las operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y Hilbert.
Estos conducen naturalmente a la definición de álgebras C* y otras álgebras de operadores.
Uno de los problemas abiertos en el análisis funcional es demostrar que todo operador lineal acotado en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante propio.
Ya se han demostrado muchos casos especiales de este problema del subespacio invariante.
es la medida de contaje, entonces la integral puede sustituirse por una suma.
Entonces no es necesario tratar con clases de equivalencia, y el espacio se denota
El mapa correspondiente es una isometría, pero en general no onto.
Un espacio de Banach general y su bidual ni siquiera tienen por qué ser isométricamente isomorfos en ningún sentido, al contrario que en la situación de dimensión finita.
Esto se explica en el artículo sobre el espacio dual.
Véase, por ejemplo, el artículo derivada de Fréchet.
En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por tanto operadores acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador.
El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero también fue demostrado independientemente por Hans Hahn.
principio de acotación uniforme: Dejemos que
sea un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert
y un valor real esencialmente limitado función mensurable
sea un operador y un valor real esencialmente limitado en un espacio de Hilbert
La mayoría de los espacios considerados en análisis funcional tienen dimensión infinita.
Sin embargo, un concepto algo diferente, la base de Schauder, suele ser más relevante en análisis funcional.
Muchos teoremas requieren el teorema de Hahn-Banach, que suele demostrarse utilizando el axioma de elección, aunque basta con el teorema del ideal primo booleano, estrictamente más débil.
El análisis funcional en su A 2004 incluye las siguientes tendencias:
