Teorema de la gráfica cerrada

En matemáticas, el teorema del grafo cerrado puede referirse a uno de varios resultados básicos que caracterizan a las funciones continuas en términos de sus gráficas.Cada uno establece condiciones para que las funciones con grafo cerrado sean necesariamente continuas.es una aplicación entre espacios topológicos, entonces el gráfico o grafo deo equivalentemente, Se dice que la gráfica deCualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene una gráfica cerrada.entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías sean completas (según el criterio de Cauchy) con respecto a las métricas invariantes de traslación, y si además (1a)es secuencialmente continua en el sentido de la topología del producto, entonces la aplicaciónes continua y su gráfica, Gr L, es necesariamente cerrada.(1b) está cerrada en el espacio producto cartesianocon una topología trivial (donde debe tenerse en cuenta queno es de Hausdorff, y que cada función valorada enes continua, pero su gráfica es no está cerrada en[3]​ En topología general, el teorema del grafo cerrado establece lo siguiente: Teorema del grafo cerrado[4]​Sies compacto (téngase en cuenta que la compacidad y la condición de ser de Hausdorff no se implican entre sí).Estos rectángulos abiertos, cuando se proyectan sobre el eje y, cubren el eje y excepto en{\displaystyle U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}}, pero no se garantiza que esté abierto, por lo que aquí se usa el requisito de la compacidad.es compacto, se puede tomar un recubrimiento abierto finito de, ya que es simplemente una intersección finita.Se puede afirmar que este es el entorno abierto deSupóngase que esto no es cierto, entonces hay algúnLos espacios que no son de Hausdorff rara vez se ven, pero los espacios no compactos son comunes.no compacto es la recta real, que permite la función discontinua con gráfica cerrada Teorema del gráfico cerrado para funciones con valores establecidos[5]​Para un rango de espacio de Hausdorff compactotiene un gráfico cerrado si y solo si es hemicontinua superior y F(x) es un conjunto cerrado para todos loses un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVSs), entonces se dice quees un operador cerrado si la gráfica deestá dotado de la topología del producto.El teorema del grafo cerrado es un resultado importante en el análisis funcional, que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones.El resultado original se ha generalizado muchas veces.Una versión bien conocida de los teoremas del grafo cerrado es la siguiente: Teorema[6]​[7]​Una aplicación lineal entre dos espacios F (por ejemplo, dos espacios de Banach) es continua si y sólo si su gráfico es cerrado.