Espacio compacto
En la rama de topología de las matemáticas, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente.
La compacticidad es una propiedad que busca generalizar el concepto de un subconjunto cerrado y acotado en el espacio Euclidiano.
[1] La idea es que un espacio compacto no posee "pinchazos" o "ausencia de puntos finales", o sea, incluye todos los valores límites de los puntos.
Sin embargo, la línea de números reales extendida sería compacta, ya que contiene ambos infinitos.
Por lo tanto, si uno elige un número infinito de puntos en el intervalo unitario [0, 1], algunos de esos puntos se acercarán arbitrariamente a algún número real en ese espacio.
Dado que ni 0 ni 1 son miembros del intervalo unitario abierto (0, 1), esos mismos conjuntos de puntos no se acumularían en ningún punto del mismo, por lo que el intervalo unitario abierto no es compacto.
El proceso podía repetirse dividiendo el intervalo resultante en partes cada vez más pequeñas, hasta que se cerraba en el punto límite deseado.
Hacia principios del siglo XX, comenzaron a acumularse resultados similares a los de Arzelà y Ascoli en el área de las ecuaciones integrales, investigadas por David Hilbert y Erhard Schmidt.
La definición de compacidad es entonces: Un espacio topológico X se dice compacto si, para todo recubrimiento abierto de X, existe un subrecubrimiento finito del mismo.
Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será precompacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad.
El objetivo de la compactificación de Alexándrov es tomar un espacio topológico arbitrario y añadirle un solo punto, llamado punto del infinito, que haga que el espacio resultante sea compacto Hausdorff al considerarlo con una cierta topología que induce la topología original al espacio de partida cuando se elimina el infinito.
Este proceso no es siempre posible: hace falta que el espacio de partida sea ya Hausdorff pero también localmente compacto.
El teorema afirma que estas condiciones, aparte de necesarias, son ya suficientes para poder compactificar un espacio con un solo punto.
Está claro que si un producto de espacios es compacto, al ser las proyecciones a cada componente continuas, y conservarse la compacidad por este tipo de transformaciones, cada espacio del que es producto también lo es.
El caso del producto finito de compactos es más sencillo, como ya se podía intuir al pensar que, heurísticamente, un espacio compacto es aquel que se comporta como uno finito.
