Convergencia uniforme
Se suele definir en contraste con la convergencia puntual, otro tipo de convergencia de funciones, más débil que la convergencia uniforme (en el sentido de que toda sucesión que converge uniformemente también lo hace puntualmente, pero no al revés).
Formalmente, esto se expresa diciendo que, para cada
La diferencia entre la convergencia uniforme y la puntual no se apreció plenamente en los principios de la historia del cálculo, lo que dio lugar a razonamientos erróneos.
El concepto de convergencia uniforme fue formalizado por primera vez por Karl Weierstraß.
, como la continuidad, la integrabilidad de Riemann y, con hipótesis adicionales, la diferenciabilidad, se heredan en el límite
No existían en ese momento definiciones completamente estándares de convergencia, y Cauchy la manejaba usando métodos infinitesimales.
[1] El término convergencia uniforme fue usado por primera vez probablemente por Christoph Gudermann en 1838 en un ensayo sobre funciones elípticas, donde usó la frase "convergencia de manera uniforme" cuando el "modo de convergencia" de una serie
Aunque pensaba que era un "hecho destacable" que una serie convergiera de esta manera, no dio una definición formal ni usó la propiedad en ninguna de sus demostraciones.
[2] Más adelante, un alumno de Gundermann, Karl Weierstraß, que asistió a su curso sobre funciones elípticas durante los años 1839-1840, acuñó el término gleichmäßig konvergent (alemán para uniformemente convergente), que usó en 1841 en su ensayo Zur Theorie der Potenzreihen, que se publicó en 1894.
De manera independiente, Philipp Ludwig von Seidel[3]y George Gabriel Stokes desarrollaron conceptos similares.
Godfrey Harold Hardy comparó las tres definiciones en su ensayo Sir George Stokes and the concept of uniform convergence, donde afirmó que "el descubrimiento de Weierstraß fue el primero, y sólo él se dio cuenta plenamente de su trascendental importancia como una de las ideas fundamentales del análisis".
Bajo la influencia de Weierstraß y de Bernhard Riemann este concepto y otras cuestiones relacionadas fueron estudiadas intensamente a finales del siglo XIX por Hermann Hankel, Paul du Bois-Reymond, Ulisse Dini y Cesare Arzelà entre otros.
Definimos primero el concepto para funciones de un conjunto a los números reales, aunque el espacio de llegada se puede sustituir por cualquier espacio métrico sustituyendo en todas partes las expresiones de la forma
no está estandarizada y varios autores han usado distintos símbolos para denotarla, incluyendo (aproximadamente en orden decreciente de popularidad) los siguientes:
Para explicitar la diferencia, en el caso de la convergencia uniforme
Así pues, la convergencia uniforme implica trivialmente la convergencia puntual, pero el recíproco no es cierto, como muestran los ejemplos de las secciones siguientes.
En este caso, la convergencia uniforme es equivalente a la siguiente condición, que se conoce como criterio de Cauchy uniforme:
Recíprocamente, supongamos que la sucesión es uniformemente convergente hacia una cierta función
es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente sobre
es continua.Por contrarrecíproco, obtenemos que si el límite de una sucesión de funciones continuas no es continuo, entonces la convergencia no puede ser uniforme.
se satisface lo anterior, pero nos bastará con tomar una sola función de la sucesión, por ejemplo
Este teorema es importante en la historia del análisis real y de Fourier, pues muchos matemáticos del siglo XVIII tenían la idea intuitiva de que una sucesión de funciones continuas siempre convergía a una función continua.
El teorema del límite uniforme muestra que una forma de convergencia más fuerte, la convergencia uniforme, basta para preservar la continuidad en el límite.
A menudo es deseable, al hacer cálculos, poder intercambiar un límite y una integral.
Para la integral de Riemann, esto se puede hacer siempre y cuando la convergencia sea uniforme y el dominio de las funciones un intervalo compacto:Si
es una sucesión de funciones integrables Riemann definidas en un intervalo compacto
) representan la suma inferior (lower) y superior (upper) de
Ahora podemos calcular, usando las desigualdades de arriba, que la suma superior es monótona y lineal respecto de la función y que la suma superior de una constante es (usando la fórmula dada arriba) esa constante por la longitud del intervalo:
Con esto concluimos que podemos intercambiar el límite con la integral, como queríamos.
En este sentido hay teoremas mucho más fuertes, como el teorema de la convergencia monótona y el teorema de la convergencia dominada, que requieren sólo convergencia puntual, pero requieren abandonar la integral de Riemann y usar en su lugar la integral de Lebesgue.
