Integral de Riemann
[1] Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede ser evaluada utilizando el teorema fundamental del cálculo o aproximada mediante integración numérica.
La integral de Riemann es inadecuada para muchos propósitos teóricos.
, el concepto puede generalizarse a dominios acotados de
Tomando mejores aproximaciones, es posible afirmar que en el límite se tendrá exactamente el área de
El tercero una suma de Riemann y el último que una función acotada sea Riemann integrable en un intervalo
un intervalo cerrado sobre los números reales, una partición de
La norma de la partición es la longitud del intervalo más grande: Lo que se está haciendo, en pocas palabras, es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el intervalo original.
La norma es la longitud del intervalo más grande.
una función y se tiene una partición del intervalo
Debe notarse que si no se sabe que la función es integrable entonces no podría tomarse cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podría tomar los valores extremos.
la suma de Riemann menos algún número real
En caso de cumplirse se habría demostrado que la función f es integrable según Riemann en
y se habría calculado hallado su valor; en caso de no cumplirse no se habría probado nada en absoluto.
Cuando se lleva al límite esta partición, se puede demostrar que se obtiene el valor de la integral: Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como, por ejemplo, las continuas.
, es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral.
Por supuesto, si ya se está familiarizado con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función
) cuya derivada nos arroje la función original
No siempre es posible hallar una función primitiva de la que se está integrando.
En este apartado se hará referencia a funciones acotadas en un intervalo cerrado
Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables.
El siguiente teorema establece que una función es integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña.
Son equivalentes en el sentido de que podemos demostrar que una función es integrable respecto a una cierta definición si y solo si es integrable con respecto a otra definición.
Una segunda, que es la que de hecho se utiliza para definir la integral de Riemann-Stieltjes, con los ajustes necesarios (y no la definición que se encuentra arriba, porque cuando se extiende a ser de Riemann-Stieltjes no cumple con todo lo que nos gustaría que se pudiera derivar de dicha definición) es la siguiente: Una función
tal que, para todo número real positivo
Si la variable de integración y el intervalo de integración son conocidos, la notación se puede simplificar como
La integral de Darboux, la integral de Lebesgue, la integral de Riemann-Stieltjes y otras más que se pueden ver en artículo sobre integración son otras formas de atacar el problema de la integración, logrando en algunos casos que funciones que no son Riemann integrables sean por ejemplo Lebesgue integrables.
Históricamente, Riemann concibió esta teoría de integración, y proporcionó algunas ideas para el teorema fundamental del cálculo diferencial e integral.
la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función
Estamos interesados en medir el área del dominio
Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.
