Integral de Riemann-Stieltjes
En matemáticas, la integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann, llamada así por Bernhard Riemann y Thomas Joannes Stieltjes.
La definición de esta integral fue publicada por primera vez en 1894 por Stieltjes.
[1] Sirve como un precursor instructivo y útil de la integral de Lebesgue y una herramienta inestimable para unificar formas equivalentes de teoremas estadísticos que se aplican en la probabilidad discreta y continua.
Para la integral de Riemann-Stieltjes se utiliza el siguiente símbolo:
Esta suma se simboliza como
tal que, para todo número real positivo
La conexión entre la integral de Riemann "estándar" y la integral de Riemann-Stieltjes se produce cuando la función integradora
Para definir la integral de Riemann utilizamos la norma de una partición, esta definición se puede ampliar a que sea parecida a la de Riemann-Stieltjes, esta integral se llama la (*)-integral (que de hecho esta es la definición que originalmente propuso Stieltjes, y que luego Pollard, propondría la que actualmente usamos, la que está arriba): Una función
se dice que es (*)-integrable con respecto a
El problema con esta definición es que no nos permite derivar todas las propiedades que nos gustaría, específicamente existen funciones que son (*)-integrables con respecto a otra función en los intervalos
, un ejemplo de tales funciones es el siguiente: Sean
El problema radica en que los puntos de la partición no los podemos elegir nosotros cuando se utiliza la definición de la (*)-integral.
Nótese que ésta propiedad coincide con la fórmula de integración por partes para integrales de Riemann si el integrador
, caso en el que se puede convertir la integral de Riemann-Stieltjes en la integral de Riemann del producto
En este caso esta propiedad adopta la siguiente forma: en que
También puede convertirse una integral de Riemann-Stieltjes en una integral de Riemann si el integrador es una función con derivada continua.
En ese caso se cumple que: Uno de los aspectos que demuestra el verdadero potencial de la integral de Riemann-Stieltjes se presenta cuando la función
es la función definida por partes: Entonces todos los sumandos de cualquier suma
Al obtener el límite de las sumas de Riemann-Stieltjes, se verá que éste tendrá el valor
Para funciones escalonadas de cualquier tipo se puede aplicar un razonamiento semejante.
Esto nos sirve para expresar una sumatoria de una cierta función como una integral en que el integrador es la función parte entera
, como se ve a continuación: En efecto, para cualquier suma de Riemann-Stieltjes la diferencia
que no contenga un valor entero.
Al calcular el valor de la suma límite, se verá que esta diferencia tiene valor 1 para los intervalos "bisecados" por enteros y que el valor que se terminará considerando para
Si ambas son discontinuas en un cierto punto, la integral no existirá.
Podemos utilizar, por ejemplo, una integral de Riemann-Stieltjes para reemplazar una sumatoria.
f ( x , y , z )
{\displaystyle f(x,y,z)}
es en realidad una integral de Riemann-Stieltjes en que el integrando es la función
que indica la longitud del arco de curva:
