Valor absoluto
En matemáticas, el valor absoluto o módulo[1] de un número real
sin considerar el signo, sea este positivo o negativo.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
y se define como:[3] El valor absoluto de
es siempre un número positivo o cero pero nunca negativo: cuando
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero.
El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales, considere
entonces Otras propiedades útiles son las siguientes estas son consecuencia de la definición o de las primeras cuatro propiedades.
Otras dos propiedades que utilizan desigualdades son Estas relaciones pueden ser utilizadas para resolver desigualdades que involucran el valor absoluto, por ejemplo: Si
es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las dos siguientes maneras: Una aplicación importante del valor absoluto sucede cuando se encuentra dentro de una función par.
Formalmente, el valor absoluto de todo número real
está definido por:[5] que suele expresarse como: Por definición, el valor absoluto de
siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Esta función es continua en toda la recta real y es diferenciable en
La función real valor absoluto de un número real devuelve su valor sin considerar el signo mientras que la función signo devuelve el signo de un número sin considerar su valor.
Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones: o y para
El conjunto de los reales con la norma definida por el valor absoluto
pues en R y C van a expresar la noción de distancia.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto: De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por: Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma: De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales.
es el conjugado de z, entonces se verifica que: Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.
Además de en los números complejos la función valor absoluto puede extenderse a números hipercomplejos como los cuaterniones o los octoniones.
sólo se pueden definir un cierto número de normas no triviales con las propiedades del valor absoluto.
Además del valor absoluto ordinario, se pueden definir las normas p-ádicas
, que son no-aquimedeanas y que tienen esencialmente las mismas propiedades definitorias del valor absoluto ordinario, pero da lugar a una estructura topológica totalmente diferente.
En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs().
La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla: Sin embargo, al tratar con coma flotantes la codificación se complica, pues se debe lidiar con la infinitud y valores NaN.
[cita requerida] Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones.
