Norma vectorial

En geometría y física, una norma en un espacio vectorial es un operador que permite definir una noción de "longitud" o "tamaño" de cualquier vector.Más concretamente, dado un espacio vectorialen el conjunto de los números reales se dice que es una norma si es no negativa, se anula únicamente en el vector nulo y satisface la desigualdad triangular y una especie de homogeneidad.El ejemplo por antonomasia es la norma euclídea en, y que se interpreta como la distancia en línea recta al cero.No obstante, en un mismo espacio vectorial puede haber muchas maneras de definir una norma, y cada una le confiere una estructura distinta de espacio normado.; o en el espacio afín asociado mediante{\displaystyle d(p,q)=\|{\vec {pq}}\|}En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio.Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia euclídea (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector.De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vectorDe lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormalviene dado por sus componentes en esta base,, entonces la norma de dicho vector viene dada por:Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera.Estas condiciones básicas son: Esto motiva la siguiente definición: Norma vectorialSea{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ ó }}\mathbb {C} }Se dice que es una norma ense le llama norma del vectorse le denomina espacio normado.(no negatividad) se deriva del resto, por lo que realmente se podría eliminar.A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general: Dada una norma, se puede definir una distancia asociada mediante Esto dota aEs decir, en un espacio normado siempre tiene sentido el concepto de cercanía.El límite de una sucesión tiene una caracterización especialmente útil: EnEsto es, para dos normas cualesquieratales que En consecuencia, todas las normas en, formado por todas las funciones escalares mediblesel conjunto de todas las funciones reales con m derivadas continuas definidas en, donde este conjunto es acotado y abierto en