Función homogénea

En matemáticas, una función homogénea[1]​ es una función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar, entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad, o simplemente el grado; es decir, si k es un número entero, una función f de variables n es homogénea de grado k si para cadaExpresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia.Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).Supongamos una función cuya definición esentre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpoes homogénea de grado k si:Cualquier función lineales homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:Del mismo modo, cualquier función multilineales homogénea de grado n, por definición.Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una funciónes homogénea de gradovariables reales definen funciones homogéneasf ( x , y , z ) ={\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}es homogénea de grado 10 puesto que:f ( x , y , z ){\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)\,}Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado.es un polinomio homogéneo de grado 5.Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.Por homogeneidad de la funciónSe deriva ambos lados de la igualdad con respecto a{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}por regla de la cadena la expresión se vuelve:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} )\alpha =\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}y finalmente da el resultado que se quiere obtener:convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable: