En matemáticas, una función homogénea[1] es una función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar, entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad, o simplemente el grado; es decir, si k es un número entero, una función f de variables n es homogénea de grado k si para cada
Expresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia.
Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).
Supongamos una función cuya definición es
entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo
es homogénea de grado k si:
es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:
Del mismo modo, cualquier función multilineal
es homogénea de grado n, por definición.
Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función
variables reales definen funciones homogéneas
f ( x , y , z ) =
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}
es homogénea de grado 10 puesto que:
f ( x , y , z )
{\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)\,}
Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado.
es un polinomio homogéneo de grado 5.
Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.
y = α x
Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
por regla de la cadena la expresión se vuelve:
y = α x
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} )\alpha =\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
y finalmente da el resultado que se quiere obtener:
convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)
son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable: