tal que toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica
es un número real, podemos considerar el espacio de todas las sucesiones infinitas
consiste en todas las sucesiones acotadas de elementos en
es un número real, podemos considerar a todas las funciones
tales que | f |p es Lebesgue-integrable, es decir el conjunto Se define la norma de
Por sí mismo, este espacio no es un espacio de Banach porque existen funciones no nulas cuya norma es cero.
Definimos una relación de equivalencia como sigue: Es decir,
Estos ejemplos se pueden generalizar: ver espacios L p para más detalles.
se llama bicompacto si de toda sucesión
se puede obtener un subsucesión, cuyo límite está en
se llama localmente compacto si la intersección de
se llama débilmente compacto si de toda sucesión infinita de sus elementos se puede extraer una subsucesión débilmente fundamental.
[2] Como se menciona anteriormente, cada espacio de Hilbert es un espacio de Banach porque, por definición, un espacio de Hilbert es completo con respecto a la norma asociada a su producto interno.
Una condición necesaria y suficiente para que un espacio de Banach sea también un espacio de Hilbert es la identidad del paralelogramo: para todo
sea un espacio de Banach complejo la identidad de polarización está dada por Para demostrar que la identidad del paralelogramo implica que la forma definida por la identidad de polarización es verdaderamente un producto interno, se verifica algebraicamente que esta forma es aditiva, de donde, se sigue por inducción que la forma es lineal sobre los enteros y racionales.
son espacios de Banach sobre el mismo cuerpo
, el conjunto de todas las transformaciones lineales continuas
Es de notar que en espacios de infinitas dimensiones no todas las funciones lineales son automáticamente continuas.
, como consecuencia del teorema de Hahn-Banach, este mapeo es inyectivo; si llegara a ser sobreyectivo, entonces el espacio de Banach
Los espacios reflexivos tienen muchas propiedades geométricas importantes.
Ver espacios L p para más detalles.
es otra función entre espacios de Banach (que no es, en general, lineal), que posiblemente, se puede diferenciar de nuevo, definiendo así derivadas más altas de
La diferenciación es una operación lineal en el siguiente sentido, si
La regla de la cadena es también válida en este contexto, si
y la derivada es la composición de las derivadas: Al hacer análisis con funciones que toman valores en un espacio de Banach (más precisamente, al estudiar martingalas con valores en espacios de Banach) aparece de forma natural la propiedad UMD (del inglés, unconditional martingale differences).
La definición de esta propiedad es la siguiente: Sea
De hecho, algunos expertos consideran que los espacios de Banach con la propiedad UMD proporcionan el entorno adecuado para hacer análisis con valores vectoriales.
[3] El matemático Donald Burkholder fue capaz de caracterizar geométricamente los espacios de Banach UMD usando la siguiente propiedad.
Concretamente, el resultado de Burkholder dice lo siguiente.
Muchos espacios importantes en análisis funcional, por ejemplo el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables de