Topología débil

El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normado) con respecto a su dual continuo.A principios del siglo XX, David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un uso extensivo de la convergencia débil.Tanto la topología débil como la topología *débil son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos, que se describen a continuación.El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado demostrado se aplica tanto a la topología débil como a la topología *débil, lo que hace redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones.Supóngase que (X, Y, b) es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre un campo topológicoSin embargo, para mayor claridad, se define a continuación.Esto muestra que las topologías débiles son localmente convexas.Ahora considérese el caso especial donde Y es un subespacio vectorial del espacio dual de X (es decir, un espacio vectorial de funcionales lineales en X).[2]​(Rudin, 1991, Theorem 3.10) Sea X un espacio vectorial topológico (EVT) sobre, que consta de todos los funcionales lineales desde X al cuerpo baseque son continuos con respecto a la topología dada.En otras palabras, es la topología más gruesa en X tal que cada elemento dey U son un subconjunto abierto del cuerpo baseconverge débilmente con x si cuando n → ∞ para todos losEn este caso, se acostumbra escribir o algunas veces, Si X está equipado con una topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas, y X es un espacio vectorial topológico localmente convexo.Las topologías uniformes y fuertes son generalmente diferentes para otros espacios de aplicaciones lineales (véase más abajo).En otras palabras, es la topología más gruesa tal que las aplicaciones Tx, definidas poren la topología *débil si converge puntualmente: para todos losSi X es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso numerable) y H es un subconjunto acotado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado con la topología *débil (del subespacio) es un espacio topológico metrizable.[2]​ Sin embargo, para espacios de dimensión infinita, la métrica no puede ser invariante respecto a la traslación.es *débilmente compacta (de manera más general, el polar enSea X un espacio vectorial topológico normado sobre F, compatible con el valor absoluto en F. Entonces, enSi X es un espacio normado, se cumple una versión del teorema de Heine-Borel.Si un espacio normado X tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología de la norma dual), entonces X es necesariamente separable.[2]​ Si X es un espacio de Banach, la topología *débil no es metrizable en todoa menos que X sea de dimensión finita.Aquí, la noción de convergencia corresponde a la norma en L2.Por otro lado, según el lema de Riemann-Lebesgue, el límite débil existe y es cero.La denominación de dichas topologías depende del tipo de topología que se utilice en el espacio objetivo Y para definir la convergencia del operador.[6]​ En general, existe una amplia gama de topologías de operadores posibles sobre L(X,Y), cuya denominación no es del todo intuitiva.