Función bulto
El conjunto de todas las funciones bulto con dominio
dada por es un ejemplo de una función bulto en una dimensión.
De su construcción se desprende claramente que esta función tiene soporte compacto, ya que una función de la recta real tiene soporte compacto si y solo si tiene soporte cerrado acotado.
La prueba de suavidad sigue la misma línea que para la función relacionada analizada en el artículo sobre funciones suaves no analíticas.
Un ejemplo simple de una función bulto (cuadrada) en
variables se obtiene tomando el producto de
La función tiene un denominador estrictamente positivo en toda la recta real, por lo que g también es suave.
Se debe tener precaución ya que, por ejemplo, tomar
conduce a: que no es una función infinitamente diferenciable (por lo tanto, no es suave), por lo que las restricciones a < b < c < d deben cumplirse estrictamente.
Algunos datos interesantes sobre la función: Se da el caso de que el valor
esto equivale a poder construir una función que sea
con un apaciguador, una función bulto con un soporte muy pequeño y cuya integral es
Tal proceso de suavizado se puede obtener, por ejemplo, tomando la función bulto
de la sección anterior y realizando los escalamientos apropiados.
Ahora se detalla una construcción alternativa que no implica convolución.
[1] El soporte de esta función es igual al cierre
y se denota el espacio euclídeo habitual por
está dotado de la distancia euclídea habitual).
sea cuando este supremo no es igual a
todas las derivadas parciales desaparecen (es decir, son iguales a
los valores de cada una de las (finitamente muchas) derivadas parciales están (uniformemente) superiormente acotadas por algún número real no negativo.
[1] Además, para cualquier número entero no negativo
la construcción anterior garantiza la existencia de funciones
suaves y no negativas tales que para cualquier
Si bien las funciones bulto son suaves, el teorema de identidad prohíbe que sean analíticas a menos que se anulen de manera idéntica.
Las funciones bulto se utilizan a menudo como apaciguadores, como funciones de corte suaves y para formar particiones de la unidad suaves.
Son la clase más común en la teoría de distribuciones utilizada en el análisis.
El espacio de las funciones bulto está cerrado en muchas operaciones.
Si los límites del dominio de la función bulto son
Debido a que una función bulto es infinitamente diferenciable, su transformada de Fourier debe decaer más rápido que cualquier potencia finita de
