Función indicatriz
que indica la pertenencia o no en un subconjunto
La función indicatriz del subconjunto
es una función: El término de función indicatriz es a veces útil en lugar de función característica, esta denominación evita la confusión con la función característica usada en probabilidades, pero puede producir uno nuevo, con la función indicatriz en análisis convexo.
se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego).
Otra forma de notación corresponde al corchete de Iverson en donde escribimos
puede ser considerada también como la función identidad en el conjunto
El interés principal de estas funciones es de transformar relaciones entre conjuntos a relaciones entre funciones.
[1] La función indicatriz o característica de un subconjunto
, asocia elementos de
es un subconjunto propio de
En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. "
" son intersección y unión respectivamente.
con sus operaciones de suma y producto habituales, entonces: mostrando que la función que asigna a cada subconjunto del conjunto potencia de
su función característica es un isomorfismo de anillos entre el conjunto potencia de
(con la intersección y la diferencia simétrica de conjuntos como producto y suma respectivamente) y el conjunto de las funciones de
con la suma y producto de funciones definidas por las operaciones dentro del anillo
Continuando con el complemento de conjuntos, y generalizando: supongamos que
s. Este producto vale 1 precisamente para los
que no pertenecen a ninguno de los conjuntos
Esto es, Expandiendo el producto del lado izquierdo, donde
Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.
Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicatriz es un elemento útil para notación en combinatoria.
La notación se usa en otras partes también, por ejemplo en teoría de la probabilidad: si
se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de
: Esta identidad se usa en una prueba simple de la desigualdad de Markov.
En muchos casos, como en teoría del orden, la inversa de la función indicatriz puede definirse.
: es un subespacio del espacio topológico
es discontinua corresponde a la frontera de
es un espacio medible, esto es, si Ω es una tribu sobre
es un conjunto medible si y solo si la función indicatriz
