Variable aleatoria
En probabilidad y estadística, una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc. o un número real (p.
ej., la temperatura máxima medida a lo largo del día en una ciudad concreta).
Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.
ej., como resultado de una medición incompleta o imprecisa).
Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.
En términos formales una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad.
El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados.
Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar.
Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará ésta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles.
Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir.
De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.
es una función real definida en espacio de probabilidad
no son directamente observables, sólo el valor de la variable en el punto
, es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación
El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es: donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas.
El espacio muestral que incluye todos los posibles resultados puede representarse por el intervalo
Nótese que en este caso la distribución de probabilidad no es conocida, sólo se conoce la distribución muestral (la serie histórica) y se conjetura que la distribución real no se aleja mucho de esta aproximación
Si la serie histórica es suficientemente larga y representa un clima que no difiere significativamente del actual estas dos últimas funciones diferirán muy poco.
describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio.
, se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación con el resultado del suceso.
Las fórmulas de densidad no requieren que
una variable aleatoria con función de distribución acumulada donde
por lo que su función de densidad está dada por Considere la variable aleatoria
Sin embargo, resulta conveniente resumir sus características principales con unos cuantos valores numéricos.
Entre estos están la esperanza y la varianza (aunque para caracterizar completamente la distribución de probabilidad se necesitan parámetros estadísticos adicionales).
Si todos los sucesos son de igual probabilidad entonces la esperanza es la media aritmética.
la esperanza se calcula como: Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad
asociada a la variable X: o análogamente la función generadora de momentos:
