ensayos de Bernoulli independientes entre sí con una probabilidad fija[2] La distribución binomial se utiliza con frecuencia para modelizar el número de aciertos en una muestra de tamaño n extraída con reemplazo de una población de tamaño N. Si el muestreo se realiza sin reemplazo, las extracciones no son independientes, por lo que la distribución resultante es una distribución hipergeométrica, no una distribución binomial.Sin embargo, para N mucho mayores que n, la distribución binomial sigue siendo una buena aproximación, y se utiliza ampliamente.Para cada experimento llamado ensayo Bernoulli, utilizamos una variable aleatoria que toma el valor 1 cuando se consigue un éxito y el valor 0 en caso contrario.La variable aleatoria, suma de todas estas variables aleatorias, cuenta el número de éxitos y sigue una distribución binomial.Es posible entonces obtener la probabilidad de k éxitos en una repetición de n experimentos: En esta fórmula interviene el coeficiente binomialdel que se deriva el nombre de la ley.Una distribución binomial también se puede utilizar para modelar situaciones simples de acertar o fallar, un juego de lanzar una moneda, por ejemplo.La ley binomial se utiliza en diversos campos de estudio, especialmente a través de pruebas estadísticas que permiten interpretar datos y tomar decisiones en situaciones que dependen del azar.Una ley de Bernoulli describe el comportamiento de un experimento aleatorio que tiene dos posibles resultados tradicionalmente llamados éxito y fracaso[3].En este modelo, la probabilidad de éxito es un valor fijo, es decir, permanece constante en cada renovación del experimento aleatorio.Esta probabilidad de éxito se denomina "p".Una distribución binomial describe el número de veces que aparece el éxito en los n experimentos realizados.Dado que el número de éxitos obtenidos es un valor aleatorio, una distribución binomial se describe dando las probabilidades de que el éxito se produzca precisamente k veces en los n ensayos.Cada suceso está representado por dos ramas: una para el éxito y otra para el fracaso.En cada extremo, se añaden dos ramas (éxito y fracaso) para el siguiente ensayo.En cada extremo final, se puede contar el número de éxitos., siendo el coeficiente binomial y se lee “las combinaciones deExisten muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.Supongamos que se lanza 51 veces un dado de 6 caras y queremos calcular la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces.En este problema un ensayo consiste en lanzar el dado una vez.como el número de veces que se obtiene un 3 en 51 lanzamientos.variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales queentonces Cuando se conoce n, el parámetro p puede estimarse utilizando la proporción de aciertos: Este estimador se encuentra utilizando estimador de máxima verosimilitud y también el método de los momentos.Este estimador es insesgado y uniforme con mínima varianza, demostrado mediante el Teorema de Lehmann–Scheffé, ya que se basa en un estadístico mínimo suficiente y completo (es decir: x).Para el caso especial de utilizar la distribución uniforme estándar como a priori no informativo,, el estimador de la media a posteriori se convierte en: Este método se denomina regla de sucesión, que fue introducido en el siglo XVIII por Pierre-Simon Laplace.Cuando se estima p con sucesos muy raros y un n pequeño (por ejemplo: si x=0), entonces utilizar el estimador estándar conduce a[6] Debido a este problema se han propuesto varios métodos para estimar intervalos de confianza.En las ecuaciones para intervalos de confianza que se presentan a continuación, las variables tienen el siguiente significado:
