Distribución de Poisson
Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos «raros».
También puede utilizarse para contar el número de eventos o partículas consideradas puntuales en otros tipos de intervalos específicos, como la distancia, el área o el volumen.
Fue propuesta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).
Por ejemplo, un centro de llamadas recibe una media de 180 llamadas por hora, 24 horas al día.
Las llamadas son independientes; recibir una no cambia la probabilidad de que llegue la siguiente.
El número de llamadas recibidas durante cualquier minuto tiene una distribución de probabilidad de Poisson con media 3: los números más probables son 2 y 3, pero 1 y 4 también son probables y hay una pequeña probabilidad de que sea tan bajo como cero y una probabilidad muy pequeña de que pueda ser 10.
Otro ejemplo es el número de desintegraciones que se producen en una fuente radiactiva durante un periodo de observación determinado.
La distribución fue introducida por primera vez por Siméon Denis Poisson (1781-1840) y publicada junto con su teoría de la probabilidad en su obra Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837).
[1] El trabajo teorizaba sobre el número de condenas injustas en un país determinado centrándose en ciertas variables aleatorias N que cuentan, entre otras cosas, el número de sucesos discretos (a veces llamados "eventos" o "llegadas") que tienen lugar durante un intervalo de tiempo-intervalo de duración determinada.
El resultado ya había sido dado en 1711 por Abraham de Moivre en De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus .
Esto la convierte en un ejemplo de ley de Stigler y ha llevado a algunos autores a defender que la distribución de Poisson debería llevar el nombre de Moivre.
Una variable aleatoria discreta X se dice que tiene una distribución de Poisson, con parámetro
si tiene una función de probabilidad dada por:[9] donde La distribución de Poisson puede ser útil para modelizar sucesos como: La distribución de Poisson es un modelo apropiado si se cumplen los siguientes supuestos: Si estas condiciones son ciertas, entonces k es una variable aleatoria de Poisson, y la distribución de k es una distribución de Poisson.
es el número de ocurrencias del evento o fenómeno.
representa el número de veces que se espera que ocurra dicho fenómeno durante un intervalo dado.
Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra
es Esta se demuestra por definición de esperanza matemática La varianza de la variable aleatoria
Es decir, tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a
es esto es, el mayor de los enteros menores que
[10] Dada una serie de eventos k (al menos el 15-20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por: entonces los límites del parámetro
De hecho, si los parámetros n y
se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.
, una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente converge a una distribución normal de media 0 y varianza 1.
de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que
libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson, si se define
como el número de libros que tengan encuadernación defectuosa entonces
(el valor esperado de libros defectuosos) es el
Por lo tanto, la probabilidad buscada es: La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,etc.
veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada y con un número definido de grados de libertad) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio.
Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:
