Hay dos tipos de función gamma incompleta, una para el caso en el que varía el límite inferior de integración, y otro cuando varía el límite superior.y se define como En ambos casos, x es una variable real mayor o igual que cero, y a es una variable compleja, cuya parte real es positiva.Integrando por partes se demuestra que Dado que la función gamma ordinaria se define como tenemos que Además, y También, donde Ei es la función integral exponencial, erf es la función de error, y erfc la función de error complementaria, erfc(x) = 1 − erf(x).Es dado simplemente por el integrando de su definición completa: La derivada con respecto a la parámetro a viene dada por[1] y la segunda derivada es: donde la función "T(m,a,x)" es un caso especial de la función G de Meijer.es la permutación definida por el símbolo de Pochhammer: Todos estos derivados pueden ser producidos a partir de: y Esta función T(m,a,x) se puede calcular por su representación estándar, siempre que :, y siempre que el parámetro a no es un número entero negativo o cero.En este último caso, se debe utilizar un límite.Algunos casos especiales de esta función se puede simplificar.Los derivados y la función T(m,a,x) proporcionar soluciones exactas a un número de integrales por la diferenciación repetido de la definición completa de la función gamma incompletaUna vez combinado con un sistema algebraico computacional, funcionamiento de las funciones especiales proporciona un método poderoso para resolver integrales definidas, en particular los que se enfrentan los ingenieros de aplicaciones prácticas.
La función gamma incompleta cuando varía el límite superior para algunos valores de a: 0 (azul), 1 (rojo), 2 (verde), 3 (naranja), 4 (morado).
