(normalmente el tiempo) a una función de variable compleja
Tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería porque es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales.
Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden.
Usó una integral como la siguiente: análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad —ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería—, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente, surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX.
Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas.
, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma: Heaviside observó que si se trataba al operador
En efecto, según la solución general, se cumple que: Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como en este ejemplo: que puede reescribirse para resaltar el operador
como: Heaviside propuso despejar y tratar a
algebraicamente, en cuyo caso se tendría que: Sustituyendo las fracciones en
por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial: Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran.
Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que los rechazaron argumentando que sus resultados no podían surgir de tal forma.
Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no solo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.
En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen.
es una distribución con una singularidad en 0 entonces la transformada de Laplace se define como Comúnmente se denota la transformada de Laplace por
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral, también existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: Que en ocasiones suele denotarse por
entonces la transformada de Laplace satisface las siguientes propiedades: Si
denota la función escalón unitario entonces En ocasiones es más cómoda la siguiente expresión Si
Se puede establecer una condición suficiente para la convergencia mediante el concepto del orden exponencial.
no posee orden exponencial, pues crece con mayor rapidez que cualquier función de la forma
no está asegurada mediante este teorema.
es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
una función derivable a trozos tal que
es funciones continuas a trozos con orden exponencial.
Esta propiedad se demuestra por definición y teniendo en cuenta la definición de la función escalón unitario Sólo se demostrará el caso para
, por definición procedemos a utilizar integración por partes, definamos entonces Para demostrar el caso para cualquier
Aquí está una lista de las transformadas más comunes.
denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo.
Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.