Una transformada es un tipo especial de operador matemático.
son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde
, que (más o menos) da una transformada inversa:
Un núcleo simétrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.
Hay muchas clases de problemas que son difíciles de solucionar - o al menos algebraicamente poco gratos - en sus representaciones originales.
La manipulación y la solución de la ecuación en el dominio objetivo son, cuando el método está bien escogido, mucho más fáciles que la manipulación y la solución en el dominio original.
La solución entonces es re-mapeada al dominio original con la transformada inversa.
Lo que esto significa es que, con algunas excepciones a veces bastante artificiales, funciones arbitrariamente complicadas pueden ser representadas como las sumas de funciones mucho más simples.
el voltaje a través de los terminales de un dispositivo electrónico) puede ser representada como una suma de senos y cosenos, cada uno convenientemente escalado (multiplicado por un valor constante), desplazado (avance o retraso en el tiempo) o comprimido/expandido (incremento o decremento de frecuencia).
Los senos y cosenos en la serie Fourier son un ejemplo de una base ortonormal.
La aplicación de las transformadas integrales para resolver problemas prácticos fue introducida por el ingeniero inglés Oliver Heaviside, quién no se preocupó de demostrar escrupulosamente sus descubrimientos matemáticos, los que fueron despreciados por la comunidad matemática hasta después de su muerte.
Hoy su aportes matemáticos se consideran dentro de los más importantes del siglo XIX.
Esto es similar en el concepto a la descripción de un punto en el espacio en términos de tres componentes, a saber, sus coordenadas "x", "y" y "z".
Cada eje tiene correlación sólo consigo mismo, y no se puede expresar con respecto a los otros ejes ortogonales.
Ese punto puede ser representado también en otros sistemas ortogonales, como puede ser uno esférico o uno cilíndrico.
Esta es una técnica que mapea ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, a ecuaciones polinomiales en lo que es llamado el dominio de frecuencia compleja (La frecuencia compleja es similar a la frecuencia real física pero es más general.
Expresamente, el componente imaginario ω de la frecuencia compleja s = -σ + iω corresponde al concepto habitual de velocidad angular, que se relaciona con la frecuencia por la identidad ω = 2π f).
Para su aplicación deben cumplirse ciertas condiciones en las funciones en que se aplicará, siendo la principal que estas deben cumplir con el principio de linealidad.
Al trabajar con muchas transformadas, entre ellas la de Laplace, se facilitan los cálculos al contar con tablas para las transformaciones más comunes y sus propiedades: En los límites de integración para la transformada inversa, c es un constante que depende de la naturaleza de la función transformada.