Transformada de Fourier
Se denomina así por el matemático y físico francés Joseph Fourier (1768-1830).
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función
suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo (segundos) y frecuencia (hercios) respectivamente, si se utiliza la fórmula alternativa: la constante
cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.
[1] Todavía es posible una mayor generalización a funciones sobre grupos, las cuales, además de la transformada de Fourier original sobre R. [aclaración requerida]o Rn (vistos como grupos bajo adición), en particular incluye la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT, grupo = Z), la transformada discreta de Fourier (DFT, grupo = Z mod N) y la serie de Fourier o transformada circular de Fourier (grupo = S1, el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos extremos identificados).
Esta última se emplea habitualmente para tratar funciones periódicas.
La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.
El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un solo espectro de frecuencias para toda la función.
Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier
Además, por medio del teorema de la convergencia dominada puede demostrarse fácilmente que
está definida por: Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando.
El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos.
En 1821, Fourier afirmó que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos.
son números complejos, que tienen dos formas equivalentes (véase fórmula de Euler): El producto con
(Eq.2) tiene estas formas: Llama la atención la facilidad con la que se simplificó el producto utilizando la forma polar, y la facilidad con la que se dedujo la forma rectangular mediante una aplicación de la fórmula de Euler.
es diferenciable Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones
son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad: También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada, pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.
A continuación, se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad cuya comprobación es trivial.
La idea básica del teorema de inversión es que dada una función
Sin embargo aquí tomamos un camino más directo para formular un enunciado: Teorema.
en este espacio, vale el teorema de inversión (1).
El espacio de Schwartz está constituido por las funciones
de variable real, definidas en ℝ e infinitamente diferenciables tales que para todo
Debido a las propiedades y la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría como para su resolución práctica.
Debido a que las "funciones base" eikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora, véase ondícula (wavelet).
Detección de compuestos al analizar las frecuencias electromagnéticas transmitidas en diversos compuestos, materiales y aleaciones[4] Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera: la transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la función
Por la interpretación usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la transformada tiene un valor mayor, más parecido tiene
