En análisis matemático, una distribución o función generalizada es un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida.
Además la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales.
Su uso es indispensable en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería.
Así, por ejemplo, se utiliza en el análisis de Fourier para obtener soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales.
También juegan un papel muy importante en electrodinámica cuántica y en procesamiento de señales.
En diversos ejemplos físicos idealizados aparecen objetos matemáticos (cuasi-funciones) similares a las funciones convencionales cuyo uso daba soluciones consistentes a diversos problemas físicos, pero que no podían ser tratados estrictamente como funciones matemáticas convencionales.
Algunos ejemplos de problemas donde aparecían estas "cuasi-funciones":
Aunque ese objeto matemático compartía ciertas propiedades con las funciones referente a su integración, se podía probar que no existía ninguna función matemática convencional δ que fuera solución de la anterior ecuación.
Los dos problemas anteriores están relacionados, y la teoría de distribuciones demostró que pueden definirse un tipo de funciones generalizadas o distribuciones tales que permiten tratar rigurosamente los dos problemas anteriores.
es un elemento del espacio dual topológico del espacio vectorial de funciones de clase
se requieren dos condiciones sobre las funciones test definidas sobre
Por ejemplo si se substituye la segunda condición por la siguiente condición: La clase de distribuciones obtenidas se llama distribuciones temperadas.
Alternativamente podemos definir las distribuciones de soporte compacto como funciones lineales continuas sobre el espacio
, con una topología definida sobre este espacio por la convergencia uniforme.
su derivada en el sentido de las distribuciones se define simplemente como la única función
Algunos ejemplos de derivadas en el sentido distribucional son: Dadas dos distribuciones S y T definidas sobre algún subconjunto de
y una de ellas tiene soporte compacto se puede definir una nueva distribución llamada convolución de S y T, que se denota mediante S ∗ T, definida como sigue: Si φ es una función de prueba sobre
Además este producto tiene, también para distribuciones, la propiedad de ser compatible con la derivada en el sentido siguiente:
Esta definición de convolución sigue siendo válida aún si se relajan las restricciones sobre S y T.[1][2] Las distribuciones ordinarias son el dual topológico de las funciones suaves de soporte compacto
Si y sólo si: Ese tipo de convergencia convierte al conjunto
Las distribuciones ordinarias serán por tanto las funciones continuas respecto a dicha convergencia (o equivalentemente la topología generada).
Es decir si f es una distribución convencional se cumplirá que:[3]
Técnicamente son el dual topológico del espacio de Schwartz
, formado por funciones suaves de decrecimiento rápido.
El espacio de Schwartz está formado por funciones φ : Rn → R tales que cualquier derivada de φ, multiplicada por cualquier potencia de |x|, converge hacia 0 para |x| → ∞.
Estas funciones forman un espacio vectorial topológico mediante una familia adecuada de seminormas:
define una topología convexa sobre el espacio de Schwartz.
Las seminormas son, de hecho, normas sobre el espacio de Schwartz, puesto que estas funciones son suaves.
La transformada de Fourier se define como aplicación lineal biyectiva y continua u homeomorfismo lineal del espacio de distribuciones temperadas.
La fórmula de cálculo usual viene dada por: