Teoría de la medida
Un ejemplo sería la medida de Lebesgue: cuando se aplica en un espacio Euclídeo
Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no-negativo (o +∞) a ciertos subconjuntos de un conjunto X.
Este problema fue resuelto definiendo la medida como aplicable a unas familias reducidas de subconjuntos, usualmente llamados los conjuntos medibles.
Esto significa que los subconjuntos no medibles, esto es, los subconjuntos para los que uno no puede definir una medida (sea de Lebesgue u otra) son muchos.
Si este es el caso, parece absurdo pretender definir la medida de una bola unitaria, puesto que por subaditividad contable uno puede asignar al menos dos valores distintos a la misma.
En concreto: Por tanto, queda claro que la medida generaliza el concepto de volumen de una caja, puesto que m(B)= |B| para toda caja.
Los conjuntos elementales son muy restrictivos, pues solo pueden construirse con base en intervalos.
Sean A y B dos conjuntos elementales tales que
, el conjunto E se dice que es medible según Jordan, y su medida
En general, la medida de Jordan solo se puede aplicar si la frontera topológica del conjunto E tiene medida externa de Jordan cero.
En concreto, si E es un conjunto medible según Jordan entendido como el intervalo
Esto es Si E es un conjunto medible cualquiera, entonces en general Por tanto, se sigue que la medida de Lebesgue está acotada por las medidas interna y externa de Jordan: Un conjunto medible según Lebesgue tiene asociado al mismo una medida de Lebesgue.
Pero es posible, al menos en principio, tratar de asociar una medida de Lebesgue a conjuntos que no son medibles según Lebesgue.
En todo caso, es necesario distinguir entre las propiedades asociadas a los conjuntos que son medibles según Lebesgue, y las propiedades mismas de la medida de Lebesgue.
A continuación, detallamos las propiedades de los conjuntos medibles según Lebesgue.
una secuencia contable no descendiente de conjuntos medibles según Lebesgue.
una secuencia contable no ascendiente de conjuntos medibles según Lebesgue.
es medible según Lebesgue, y su medida es: Nótese que si
, esto es, si la transformación es una aplicación a un espacio de dimensionalidad estrictamente inferior, entonces G(E) no tiene por qué ser medible según Lebesgue.
Esto meramente significa generar un cierto conjunto cuyas particiones internas exploten de forma irregular el principio de buena ordenación o el inducción transfinita.
son un subgrupo normal de los números reales con respecto a la suma, uno puede definir el grupo cociente
Un espacio de medida (X, Σ, μ) se dice finito si μ(X) es un número real finito (en lugar de ∞).
Por ejemplo, los números reales con la medida de Lebesgue estándar forman un espacio σ-finito pero no finito.
La medida μ se dice completa si todo conjunto despreciable es medible (y por lo tanto, nulo también).
A continuación se listan algunos ejemplos importantes de medidas.
Otras medidas notables son las de Borel, Jordan y Radon.
Una medida que tome valores en un espacio de Banach se llama medida espectral; son usadas a menudo en análisis funcional en el teorema espectral.
Históricamente, esta definición se usó inicialmente, pero no resultó ser tan útil.
La que es homogénea de grado n es el volumen ordinario n-dimensional.
La homogénea de grado 1 es una función misteriosa llamada "anchura media" (en inglés, "mean width"), un mal nombre.
