En matemáticas, específicamente en teoría de medidas, la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto: el "tamaño" de un subconjunto se considera el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos e infinito
si el subconjunto es infinito.
[1] La medida de conteo se puede definir en cualquier espacio mensurable (es decir, cualquier conjunto
junto con sigma-álgebra) pero se usa principalmente en conjuntos contables.
[1] En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto
en un espacio medible tomando el conjunto de potencias de
es decir, todos los subconjuntos de
son conjuntos medibles.
Entonces la medida de conteo
en este espacio mensurable
{\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}}
denota la cardinalidad del conjunto
[2] La medida de conteo en
es σ-finito si y sólo si el espacio
[3] Toma el espacio de medida
es el conjunto de todos los subconjuntos de los naturales y
la medida de conteo.
Tome cualquier mensurable
se puede representar puntualmente como
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}
{\displaystyle \int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}
Por tanto, según el teorema de convergencia monótona
f d μ =
La medida de conteo es un caso especial de una construcción más general.
Con la notación anterior, cualquier función
define una medida
a través de
donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el supremo de las sumas de todos los subconjuntos finitos, es decir,
{\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.}
da la medida de conteo.