Integral de Lebesgue
En Análisis matemático, la integral de Lebesgue es la extensión y reformulación del concepto de integral de Riemann a una clase más amplia de funciones reales, así como extiende los posibles dominios en los cuales estas integrales pueden definirse.
Es una herramienta que resuelve casos que no pueden la integral de Riemann o la de Stieljes.
Debe su nombre al matemático francés Henri Lebesgue (1875-1941) que propuso la noción y demostró las principales propiedades de este tipo de integral en 1904.
[1] Hacía mucho que se sabía que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía definirse como la integral y calcularse usando técnicas de aproximación de la región mediante rectángulos o polígonos.
Pero como se necesitaba considerar funciones más irregulares, se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.
puede interpretarse como el área bajo la gráfica de
Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero ¿qué quiere decir para funciones más exóticas o con comportamiento errático?
La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental.
Como parte del gran avance de las matemáticas en el siglo XIX, se hicieron varios intentos de poner sobre bases sólidas el cálculo integral.
La integral de Riemann, propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866), sentó la primera base sólida sobre la cual se desarrolló la integral.
Esta definición es buena en el sentido que provee las respuestas adecuadas y esperadas para muchos problemas ya resueltos, así como importantes y útiles resultados para muchos otros problemas.
La integral de Lebesgue permite saber cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo de la integral.
En particular, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática a la pregunta: ¿a qué subconjuntos de
se les puede asociar una longitud?
Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de
Estos conjuntos se llaman no medibles.
En el desarrollo de la teoría los libros más modernos (posteriores a 1950) se usa el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función
que satisface una lista de propiedades.
o algún subconjunto medible de él,
Una función es medible si la preimagen de cualquier intervalo cerrado pertenece a
, es decir, es un conjunto medible: El conjunto de funciones medibles es cerrado bajo operaciones algebraicas, aunque más importante es el hecho de que esta clase también es cerrada al tomar límites de sucesiones de funciones: es medible si las funciones que forman los términos de la sucesión
Vamos a construir la integral de Lebesgue :
en varias etapas calculando las integrales de funciones sencillas: Función característica o indicadora: Dado un subconjunto
, la función característica 1S toma valor 1 para los elementos pertenecientes a
son números reales y la suma es finita.
A partir del caso anterior más sencillo se puede asumir que el resultado de integrar una función simple sea: A pesar de que una función simple se pueda expresar como distintas sumas, el resultado de la integral no varía.
se puede escribir como suma de dos funciones no negativas: donde Si ambas integrales verifican entonces se puede definir la integral de Lebesgue de
Imaginemos que queremos calcular el área de una curva.
Tenemos dos métodos distintos para encontrar una aproximación a esta área: Consideremos la función característica de los racionales
Esta función no es continua en ningún punto de su dominio, ¿será integrable?
