Espacio vectorial topológico
donde los puntos son cerrados y de tal manera que las aplicaciones: y son continuas (usando en los productos cartesianos las respectivas topologías producto) respecto a la topología
Este artículo se centra en los EVT que no son necesariamente localmente convexos.
Se dice que un espacio vectorial topológico es separado si es de Hausdorff.
En el artículo sobre espacios vectoriales topológicos metrizables se ofrece una prueba del teorema anterior.
[10] Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación suma, y en un espacio vectorial topológico la operación inversa siempre es continua (ya que es lo mismo que la multiplicación por
,[6] por lo que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de absorción y es un conjunto equilibrado.
es un espacio vectorial topológico, entonces las cuatro condiciones siguientes son equivalentes:[16][nota 3] Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que hay una métrica equivalente que es invariante a la traslación.
un cuerpo topológico discreto y no localmente compacto, por ejemplo, los números reales o complejos.
[20] Un subconjunto de un EVT es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado (para los EVT de Hausdorff, un conjunto totalmente acotado equivale a que sea precompacto).
La operación suma en el espacio vectorial es uniformemente continua y una aplicación abierta.
Cualquier espacio vectorial (incluidos aquellos que son de dimensión infinita) dotado de la topología trivial es un espacio vectorial topológico compacto (y por lo tanto, también es localmente compacto) completo pseudometrizable seminormable y localmente convexo.
es un espacio vectorial real (donde la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente, como es habitual) que puede identificarse con (y de hecho, a menudo se define como) el producto cartesiano
(explícitamente, esto significa que existe una aplicación lineal entre los espacios vectoriales
siempre tiene una topología vectorial de Hausdorff única, lo que lo hace un EVT isomorfo a
está acotada (como se define a continuación) para algún entorno del origen de
Dependiendo de la aplicación, normalmente se imponen restricciones adicionales a la estructura topológica del espacio.
A continuación se muestran algunos espacios vectoriales topológicos comunes, aproximadamente en orden creciente de "amabilidad".
[27] Existe la posibilidad de que esta no sea la única topología natural en el espacio dual, y por ejemplo, el dual de un espacio normado tiene una norma natural definida.
sea un espacio localmente convexo no normable, entonces la aplicación de emparejamiento
nunca es continua, sin importar qué topología del espacio vectorial se elija en
(no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos) son exactamente aquellos que tienen la forma: y algún funcional sublineal positivo continuo
[33] Esto muestra, en particular, que a menudo será suficiente considerar redes indexadas por una base de entornos del origen en lugar de redes en conjuntos dirigidos arbitrarios.
también sea convexo (además de estar equilibrado y tener un interior no vacío).
[39] Por ejemplo, esto será cierto para cualquier subconjunto propio no vacío de
[demo 5] (de modo que este subconjunto arbitrario abierto o cerrado
[39] Por lo tanto, en un espacio vectorial topológico completo, un subconjunto cerrado y totalmente acotado es compacto.
En particular, el cierre de cualquier subconjunto convexo, equilibrado y absorbente es barrilado.
[48] Sin embargo, y es posible que esta contención sea[49] propia (por ejemplo, si
La envolvente equilibrada de un conjunto compacto (respectivamente, totalmente acotado) tiene esa misma propiedad.
[9] Un subespacio vectorial de un EVT que está cerrado pero no es abierto es denso en ninguna parte.
