En matemáticas, un espacio uniformemente convexo (o espacio uniformemente rotundo) es un ejemplo común de espacio de Banach reflexivo.
El concepto de convexidad uniforme fue introducido por primera vez por James A. Clarkson en 1936.
Un espacio uniformemente convexo es un espacio vectorial normado tal que, para cada
tal que para dos vectores cualesquiera con
la condición implica que: Intuitivamente, el centro de un segmento rectilíneo dentro de la 1-esfera debe estar profundamente dentro de la bola unitaria, a menos que el segmento sea corto.
‖ x ‖ ≤ 1 − 2 δ
x + y
y se prueba el enunciado.
Un argumento similar se aplica al caso
‖ y ‖ ≤ 1 − 2 δ
, por lo que se puede suponer que
1 − 2 δ < ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ≤ 1
En este caso, dado que
, ambos vectores son distintos de cero, por lo que se puede hacer que
Se tiene que
− x ‖ = 1 − ‖ x ‖ ≤ 2 δ
, y de manera similar,
− y ‖ ≤ 2 δ
pertenecen a la esfera unitaria y tienen una distancia
‖ ≥ ‖ x − y ‖ − 4 δ ≥ ε −
Por lo tanto, de acuerdo con la elección de
, se tiene que
De ello se deduce que
x + y
, con lo que la proposición queda probada.