Espacio prehilbertiano

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base

), el cual posee una operación definida con la siguiente función: llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas: En los espacios con producto escalar se define una norma La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero.

En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x.

Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas: