Función convexa
Una función real f definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de algún espacio vectorial) se llama función convexa si está definida sobre un conjunto convexo C y para cualesquiera dos puntos x, y miembros de C, y para cada t en [0,1], se cumple que:
En otras palabras, una función es convexa si y solo si su epigrafo (el conjunto de puntos situados en o sobre el grafo) es un conjunto convexo.
Una función convexa f definida en un intervalo abierto C es continua en C y diferenciable en todos los puntos menos en un conjunto numerable.
Si C es cerrado, entonces f puede no ser continua en los puntos críticos o finales de C. Una función es punto-medio convexa (midpoint convex) en un intervalo "C" si para todo x e y en C. Esta condición es solo ligeramente más relajada que la de convexidad.
Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el intervalo.
Una función doblemente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si su segunda derivada es no negativa en ese intervalo; esto proporciona una prueba práctica para verificar convexidad.
Si la segunda derivada es positiva, entonces es estrictamente convexa, pero la doble implicación no se cumple, como podemos ver por ejemplo en f(x) = x4.
En general, una función continua doblemente diferenciable de muchas variables es convexa en un conjunto convexo si y solo si su matriz Hessiana es definida positiva en el interior de ese conjunto convexo.
Una función estrictamente convexa tendrá a lo más un mínimo absoluto.
Sin embargo, una función cuyos conjuntos de nivel son conjuntos convexos puede no resultar ser convexa; una función de este tipo se llama función cuasi-convexa.
La inecuación de Jensen se aplica a toda función convexa f. Si
es una variable aleatoria que toma valores en el dominio de f, entonces
a cualquier espacio normado sea de dimensión finita o infinita: (Condición necesaria de mínimo local) Sea
de un espacio normado, entonces: El significado geométrico del teorema anterior es claro, el teorema implica simplemente que la función en todo punto está por encima del plano tangente en un punto.
El siguiente teorema es válido para funciones convexas que son dos veces diferenciables (y por tanto admiten una forma bilineal que generaliza la matriz hessiana): (Convexidad y segunda derivada) Sea
de un espacio normado y que sea dos veces diferenciable, entonces: Nótese que en este último caso el recíproco de la afirmación b) no es cierto en general, por ejemplo considérese
cuya segunda derivada en el origen se anula y, sin embargo, la función sigue siendo estrictamente convexa.
El último teorema impone restricciones sobre el número de mínimos que puede tener una función convexa y su naturaleza: (mínimos de funciones convexas) Sea
